2017-全国卷III理-11 单-函数对称性

本题导读

本题考查函数的对称性，以及函数零点的唯一性。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 已知函数 $f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})$ 有唯一零点，则 $a=$ ()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察函数结构：函数中含有 $x^2-2x$ 和 $e^{x-1}+e^{-(x-1)}$。这两部分都表现出某种关于 $x=1$ 的对称性。
2. 证明对称性：利用公式 $f(x)=f(2a-x)$ 验证 $f(x)$ 是否关于直线 $x=1$ 对称。
3. 利用唯一零点：如果一个关于 $x=1$ 对称的函数有唯一零点，那么这个零点必然落在对称轴上，即 $x=1$。
4. 解方程：将 $x=1$ 代入 $f(x)=0$，求出参数 $a$ 的值。
5. 验证（选做）：在解答题中通常需要验证 $a$ 取该值时零点确实唯一，在选择题中可直接锁定。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：验证函数的对称性 计算 $f(2-x)$： $f(2-x)=(2-x{)}^2-2(2-x)+a(e^{(2-x)-1}+e^{-(2-x)+1})$ $f(2-x)=(4-4x+x^2)-(4-2x)+a(e^{1-x}+e^{x-1})$ $f(2-x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})=f(x)$ 因为 $f(2-x)=f(x)$，所以函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称。

第二步：利用“唯一零点”判定零点位置 若 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个零点，则由于图象关于 $x=1$ 对称，$2-x_0$ 也必然是 $f(x)$ 的零点。 题目给定函数有唯一零点，则必须有 $x_0=2-x_0$，解得 $x_0=1$。 即函数的唯一零点只能是 $x=1$。

第三步：代入求值 将 $x=1$ 代入 $f(1)=0$： $f(1)=1^2-2(1)+a(e^{1-1}+e^{-1+1})=0$ $-1+a(e^0+e^0)=0$ $-1+2a=0$ $a=\frac{1}{2}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对称性与零点个数：具有对称轴 $x=x_0$ 的函数，若零点个数为奇数，则必有一个零点为 $x_0$；若有唯一零点，则该零点必为 $x_0$。
• 结构敏感度：看到 $e^x$ 与 $e^{-x}$ 的组合，或者是 $(x-m{)}^2$ 的形式，应第一时间联想到奇偶性或对称性。
• 选择题策略：本题若不使用对称性，直接对 $f(x)$ 求导分析单调性会非常复杂。通过几何特征转化代数计算是解析此类“唯一性”问题的捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 完善性验证： 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=(x-1{)}^2-1+\frac{e^{x-1}+e^{-(x-1)}}{2}$。 令 $t=x-1$，则 $g(t)=t^2-1+\frac{e^t+e^{-t}}{2}$。 $g^{\prime }(t)=2t+\frac{e^t-e^{-t}}{2}$。 容易发现 $g^{\prime }(t)$ 是增函数且 $g^{\prime }(0)=0$。所以 $g(t)$ 在 $t=0$ 处取得极小值 $g(0)=0^2-1+1=0$。 因为极小值也是最小值且为 0，所以零点确实唯一。

2. 类似模型： 若函数变为 $f(x)=\sin (x-1)+(x-1{)}^3$，由于它是关于 $(1,0)$ 中心对称的奇函数，其零点若为奇数个，也必包含 $x=1$。

3. 易错警示： 部分学生在计算 $f(2-x)$ 时，容易在 $a(e^{x-1}+e^{-x+1})$ 这一项的指数变换上出错，务必细心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2014-新课标II卷文-15 填-函数对称性
• 2014-湖南卷理-10 单-函数对称性