2014-新课标II卷文-15 填-函数对称性

本题导读

偶函数给出 $f(-1)=f(1)$；关于 $x=2$ 对称给出 $f(1)=f(3)=3$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 偶函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称，$f(3)=3$，则 $f(-1)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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偶函数给出 $f(-1)=f(1)$；关于 $x=2$ 对称给出 $f(1)=f(3)=3$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

图象关于直线 $x=2$ 对称，即 $f(x)=f(4-x)$，取 $x=1$：$f(1)=f(3)=3$。

$f$ 是偶函数，$f(-1)=f(1)=3$。

所以 $f(-1)=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的奇偶性；函数图象的对称性

2. 核心方法：对称轴 $x=a⟺f(x)=f(2a-x)$；偶函数 $⟺f(x)=f(-x)$

3. 避坑指南：两条对称性质的使用顺序可以交换，但要逐步落实：先由对称得 $f(1)$，再由偶函数得 $f(-1)$；别把”关于 $x=2$ 对称”误写成 $f(x)=f(2-x)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数对称与求值题（doc 考点定位：函数的性质），与 2014 年新课标Ⅰ文第 5 题（奇偶性组合判断）同卷。

2. 结论推广: 一般地，偶函数 + 关于 $x=a$ 对称 $⟺f$ 是周期函数，周期 $2a$；本题即 $f$ 以 4 为周期，$f(-1)=f(3)$。

3. 方法推广: 函数对称问题：把文字条件翻译成函数方程 $f(x)=f(c\pm x)$，再挑合适的自变量代入。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-05 单-函数奇偶性
• 2014-新课标I卷理-03 单-函数奇偶性