2017-全国卷III理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于等价转化法、几何构造法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） $\Delta ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.已知 $\sin A+\sqrt{3}\cos A=0$，$a=2\sqrt{7}$，$b=2$.

(1)求 $A$ 和 $c$；

(2)设 $D$ 为 $BC$ 边上一点，且 $AD\perp AC$，求 $\Delta ABD$ 的面积.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求角与边）：

• 求角 A：对 $\sin A+\sqrt{3}\cos A=0$ 进行变形，得到 $\tan A=-\sqrt{3}$，结合内角范围确定 $A$。
• 求边 c：已知 $a,b$ 和角 $A$，直接代入余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 构造关于 $c$ 的二次方程求解。

2. 第二问（求面积）：

• 分析结构：$AD\perp AC$ 意味着 $\angle DAC=90^{\circ }$。由于 $A=120^{\circ }$，可得 $\angle DAB=30^{\circ }$。
• 求 AD 长度：在直角 $\Delta ACD$ 中，$AD=b\cdot \tan C$。或者先求出 $\cos C$，再求 $AD$。
• 计算面积：使用 $S_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}c\cdot AD\cdot \sin \angle DAB$。

✅【答案】

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(1) $A=\frac{2\pi }{3}$，$c=4$

(2) $S_{\Delta ABD}=\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由 $\sin A+\sqrt{3}\cos A=0$ 得 $\tan A=-\sqrt{3}$。 因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $A=\frac{2\pi }{3}$。 由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 得： $(2\sqrt{7}{)}^2=2^2+c^2-2\cdot 2\cdot c\cdot \cos \frac{2\pi }{3}$ $28=4+c^2-4c\cdot (-\frac{1}{2})$ 整理得：$c^2+2c-24=0$ 解得 $c=4$ 或 $c=-6$（舍去）。 故 $A=\frac{2\pi }{3}$，$c=4$。

(2)解： 在 $\Delta ABC$ 中，$a=2\sqrt{7},b=2,c=4$。 由余弦定理得 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{28+4-16}{2\cdot 2\sqrt{7}\cdot 2}=\frac{16}{8\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$。 则 $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-\frac{4}{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$。 在直角 $\Delta ACD$ 中，$\angle DAC=90^{\circ }$。 $AD=AC\cdot \tan C=b\cdot \frac{\sin C}{\cos C}=2\cdot \frac{\sqrt{3}/\sqrt{7}}{2/\sqrt{7}}=\sqrt{3}$。 因为 $A=\angle BAC=120^{\circ }$，$\angle DAC=90^{\circ }$， 所以 $\angle DAB=120^{\circ }-90^{\circ }=30^{\circ }$。 则 $\Delta ABD$ 的面积为： $S_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin \angle DAB$ $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{3}\cdot \sin 30^{\circ }$ $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 余弦定理的计算：在解三角形大题中，第一步通常是求基本量。计算 $c^2+2c-24=0$ 时要心细。
• 直角三角形的切入点：第二问中 $AD\perp AC$ 是核心条件。它不仅锁定了 $\angle DAB$，还把 $AD$ 的长度与 $\angle C$ 联系起来，避免了在 $\Delta ABD$ 中强行使用正弦定理的复杂过程。
• 面积公式的选择：选用含有已知角 $\angle DAB$ 的面积公式是最快捷的路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形