2017-北京卷文-07 单-向量数量积

本题导读

考查平面向量数量积的符号及向量共线条件下的充要性判断。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 设 $m,n$ 为非零向量，则“存在负数 $\lambda$，使得 $m=\lambda n$”是“$m\cdot n<0$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析充分性：若存在负数 $\lambda$ 使得 $m=\lambda n$，则 $m$ 与 $n$ 方向相反，此时夹角 $\theta =180^{\circ }$，数量积 $m\cdot n=|m||n|\cos 180^{\circ }<0$ 恒成立。
2. 分析必要性：若 $m\cdot n<0$，说明夹角为钝角或平角，未必满足 $m=\lambda n$（即未必共线）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性：若存在负数 $\lambda$ 使得 $m=\lambda n$，则非零向量 $m$ 与 $n$ 反向，其次夹角 $\theta =\pi$，数量积 $m\cdot n=|m||n|\cos \pi =-|m||n|<0$，充分性成立。 必要性：若 $m\cdot n<0$，则两向量夹角 $\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi ]$，不一定共线（即不一定能表示为 $m=\lambda n$），必要性不成立。 故“存在负数 $\lambda$，使得 $m=\lambda n$”是“$m\cdot n<0$”的充分而不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积与共线充要条件。
2. 核心方法：定义法与反例法。
3. 避坑指南：数量积小于零仅代表夹角为钝角或平角，并不要求两向量共线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考向量概念与逻辑联结词综合题。
2. 结论推广: 反向共线向量的数量积必为负，但数量积为负的向量不一定共线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-14 填-向量数量积
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2010-天津卷文-09 单-向量数量积