2010-天津卷文-09 单-向量数量积

本题导读

考查数量积。$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\sqrt{3}\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AD}=\sqrt{3}|\overrightarrow{AD}{|}^2=\sqrt{3}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 如图，在 $△ABC$ 中，$AD\perp AB$，$\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}\overrightarrow{BD}$，$|\overrightarrow{AD}|=1$，则 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=$()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{BD}$。
2. $AD\perp AB\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$。
3. $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$。
4. $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\sqrt{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AD}=\sqrt{3}|\overrightarrow{AD}{|}^2=\sqrt{3}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}\overrightarrow{BD}$ 知 $B,D,C$ 共线。 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot \overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{BD})\cdot \overrightarrow{AD}.$ 因为 $AD\perp AB$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$，于是 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\sqrt{3}\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AD}=\sqrt{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AD}=\sqrt{3}|\overrightarrow{AD}{|}^2=\sqrt{3}.$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的数量积

核心方法：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ 展开，垂直条件消项

避坑指南：$\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}\overrightarrow{BD}$ 是向量关系（含方向与共线信息），不只是长度关系；$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ 的方向写反会全盘皆错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数量积遇垂直优先拆项：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$ 是题眼。

结论推广：结论 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\sqrt{3}|\overrightarrow{AD}{|}^2$ 与 $B$ 的位置无关，这是动点定值思想的体现。

方法推广：基底法（选两个垂直向量为基）是向量求值问题的通用入口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2009-福建卷文-12 单-向量数量积与面积
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积