2017-北京卷文-10 填-双曲线

本题导读

考查双曲线的标准方程中参数关系及离心率的计算。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 若双曲线 $x^2-\frac{y^2}{m}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$，则实数 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确双曲线的标准方程，找出 $a^2$ 和 $b^2$。
2. 利用离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 及 $c^2=a^2+b^2$ 建立方程求解 $m$。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $x^2-\frac{y^2}{m}=1$ 可知， $a^2=1$，$b^2=m$。 则 $c^2=a^2+b^2=1+m$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{1+m}{1}}=\sqrt{1+m}$。 因为离心率为 $\sqrt{3}$， 所以 $\sqrt{1+m}=\sqrt{3}$。 两边平方得：$1+m=3$， 解得 $m=2$。 故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率与 $a,b,c$ 关系。
2. 核心方法：代数方程求解法。
3. 避坑指南：双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，切勿与椭圆的 $a^2=b^2+c^2$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线核心基础题。
2. 结论推广: 双曲线离心率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，由离心率可直接确定渐近线斜率或几何参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线