2017-北京卷文-11 填-基本不等式

本题导读

考查限制条件下代数式最值的求法，属于基础题。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 已知 $x\ge 0,y\ge 0$，且 $x+y=1$，则 $x^2+y^2$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用条件 $y=1-x$ 代入目标式。
2. 结合变量的取值范围，转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题。

✅【答案】

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$[\frac{1}{2},1]$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x\ge 0,y\ge 0$ 且 $x+y=1$，所以 $x\in [0,1]$。 将 $y=1-x$ 代入 $x^2+y^2$ 中得： $f(x)=x^2+(1-x{)}^2=2x^2-2x+1=2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}$。 当 $x=\frac{1}{2}$ 时， $f(x)$ 取得最小值 $\frac{1}{2}$； 当 $x=0$ 或 $x=1$ 时， $f(x)$ 取得最大值 $1$。 故 $x^2+y^2$ 的取值范围是 $[\frac{1}{2},1]$。 故答案为：$[\frac{1}{2},1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数在闭区间上的最值。
2. 核心方法：消元转化为函数域内求值。
3. 避坑指南：切勿忽略变量 $x,y$ 的取值范围限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考基础代数最值常考题。
2. 结论推广: 若 $x+y=S$ ($x,y\ge 0$)，则 $x^2+y^2$ 的取值范围是 $[\frac{S^2}{2},S^2]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2013-新课标II卷理-24 解-基本不等式
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式