2017-北京卷文-12 填-向量数量积

本题导读

考查平面向量数量积的最值问题，结合圆的几何性质求解。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 已知点 $P$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上，点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$，$O$ 为原点，则 $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AP}$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设出点 $P$ 的坐标，利用三角函数参数方程表示。
2. 写出向量 $\overrightarrow{AO}$ 和 $\overrightarrow{AP}$ 的坐标，计算其数量积并求最值。

✅【答案】

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6

✍【详细解析】

Abstract

设 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$。已知 $A(-2,0)$，$O(0,0)$。 则 $\overrightarrow{AO}=(2,0)$， $\overrightarrow{AP}=(\cos \theta +2,\sin \theta )$。 数量积 $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AP}=2(\cos \theta +2)+0\cdot \sin \theta =2\cos \theta +4$。 因为 $-1\le \cos \theta \le 1$， 所以当 $\cos \theta =1$ 时， $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AP}$ 取得最大值，最大值为 $2\times 1+4=6$。 故答案为：6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的最值。
2. 核心方法：参数方程三角代换法。
3. 避坑指南：准确计算向量坐标，注意起点与终点的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考向量与圆综合基础题。
2. 结论推广: 圆外一点到圆上各点的向量数量积最值可借助圆心距与半径整体处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-14 填-向量数量积
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2010-天津卷文-09 单-向量数量积