2017-北京卷文-15 解-数列综合

本题导读

考查等差、等比数列基本量的计算及其前 $n$ 项奇数项求和问题。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 和等比数列 $\{b_n\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，$a_2+a_4=10$，$b_2{b}_4=a_5$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求和：$b_1+b_3+b_5+\cdots +b_{2n-1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 列方程求出公差 $d$。
2. 利用等比数列的性质及通项列方程求出公比 $q$。
3. 观察所求和式 $b_1+b_3+b_5+\cdots +b_{2n-1}$，发现其各项构成以 $b_1$ 为首项、公比为 $q^2$ 的新等比数列，直接应用求和公式求解。

✅【答案】

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$an=2n-1；b1+b3+b5+\cdots +b2n-1=3n-12.$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 因为 $a_1=1$，$a_2+a_4=10$， 所以 $(a_1+d)+(a_1+3d)=10⟹2a_1+4d=10$。 将 $a_1=1$ 代入得：$2+4d=10⟹d=2$。 故等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。

(2) 设等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。 由 $a_5=2\times 5-1=9$，以及 $b_2{b}_4=a_5$， 根据等比数列性质可得 $b_3^2=b_2{b}_4=a_5=9$， 又 $b_1=1$（若设公比为 $q$，则 $b_2=q,b_4=q^3$，故 $q\cdot q^3=q^4=9$，此时 $q^2=3$ 或 $q^2=-3$；但由于 $b_3=b_1{q}^2=q^2$，由 $b_3^2=9$ 知 $b_3=3$ 或 $-3$，而 $b_3=q^2\ge 0$（当 $q$ 为实数时 $q^2\ge 0$），故 $q^2=3$）。 因此，数列 $\{b_n\}$ 的奇数项 $b_1,b_3,b_5,\cdots ,b_{2n-1}$ 构成以 $b_1=1$ 为首项，公比为 $q^2=3$ 的等比数列。 其前 $n$ 项和为： $S_n=\frac{b_1(1-(q^2{)}^n)}{1-q^2}=\frac{1\cdot (1-3^n)}{1-3}=\frac{3^n-1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差等比数列基本量运算与奇数项求和。
2. 核心方法：基本量方程组法与新数列转化法。
3. 避坑指南：利用 $b_2{b}_4=b_3^2$ 可以简便求解，注意公比平方的整体代换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列解答题第一问的标准双数列综合题。
2. 结论推广: 等比数列抽取的奇数项或偶数项仍成等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

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• 2015-福建卷文-17 解-数列综合
• 2020-江苏卷-20 解-数列综合