2017-北京卷理-06 单-充要条件

本题导读

本题考查向量共线的定义，以及向量的数量积公式。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 设 $\vec{m},\vec{n}$ 为非零向量，则“存在负数 $\lambda$，使得 $\vec{m}=\lambda \vec{n}$”是“$\vec{m}\cdot \vec{n}<0$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析充分性 ($p\Rightarrow q$)：

• 若存在 $\lambda <0$ 使得 $\vec{m}=\lambda \vec{n}$，说明 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 共线反向。
• 此时两向量夹角 $\theta =180^{\circ }$。
• 数量积 $\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}||\vec{n}|\cos 180^{\circ }=-|\vec{m}||\vec{n}|$。
• 由于 $\vec{m},\vec{n}$ 为非零向量，则 $-|\vec{m}||\vec{n}|<0$ 恒成立。故充分性成立。

2. 分析必要性 ($q\Rightarrow p$)：

• 若 $\vec{m}\cdot \vec{n}<0$，根据公式 $\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}||\vec{n}|\cos \theta <0$，可得 $\cos \theta <0$。
• 这意味着两向量的夹角 $\theta$ 为钝角或平角（即 $90^{\circ }<\theta \le 180^{\circ }$）。
• 当 $\theta$ 为钝角（如 $120^{\circ }$）时，虽然数量积小于 0，但两向量并不共线，不存在 $\lambda$ 使得 $\vec{m}=\lambda \vec{n}$。故必要性不成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 设条件 $p$：存在负数 $\lambda$，使得 $\vec{m}=\lambda \vec{n}$；条件 $q$：$\vec{m}\cdot \vec{n}<0$。

• 充分性：若 $p$ 成立，则 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 方向相反，夹角 $\theta =\pi$。 此时 $\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}||\vec{n}|\cos \pi =-|\vec{m}||\vec{n}|$。 因为 $\vec{m},\vec{n}$ 是非零向量，所以 $-|\vec{m}||\vec{n}|<0$，即 $q$ 成立。充分性得证。
• 必要性：若 $q$ 成立，即 $\vec{m}\cdot \vec{n}<0$，则 $|\vec{m}||\vec{n}|\cos \theta <0$，解得 $\cos \theta <0$。 所以 $\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi ]$。 当 $\theta =\frac{2\pi }{3}$ 时，满足 $\vec{m}\cdot \vec{n}<0$，但此时 $\vec{m},\vec{n}$ 不共线，不存在 $\lambda$ 使得 $\vec{m}=\lambda \vec{n}$。必要性不成立。 综上，$p$ 是 $q$ 的充分而不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何意义的包含关系：
• “存在负数 $\lambda$ 使得 $\vec{m}=\lambda \vec{n}$” 对应夹角 $\theta =180^{\circ }$。
• “$\vec{m}\cdot \vec{n}<0$” 对应夹角 $\theta \in (90^{\circ },180^{\circ }]$。
• 显然，$\{180^{\circ }\}⊊(90^{\circ },180^{\circ }]$。小集合推大集合，是充分不必要条件。
• 易错点：很多同学会将“数量积小于 0”等同于“反向共线”，实际上数量积只决定夹角的范围（锐角、直角或钝角）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比以下结论：

1. $\vec{m}=\lambda \vec{n}(\lambda >0)$ 是 $\vec{m}\cdot \vec{n}>0$ 的充分不必要条件。
2. $\vec{m}\perp \vec{n}$ 是 $\vec{m}\cdot \vec{n}=0$ 的充分必要条件（前提是非零向量）。
3. 常用逻辑判断：范围小的推范围大的。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-15 单-充要条件
• 2009-四川卷文-07 单-充要条件
• 2009-山东卷文-09 单-充要条件