2017-北京卷理-07 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原几何体，以及空间几何体的结构特征。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ()

A. $3\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $2\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 还原底面：俯视图是一个边长为 2 的正方形，说明四棱锥的底面是正方形。
2. 确定顶点位置：

• 正视图是直角三角形，高为 2。
• 侧视图也是直角三角形，高为 2。
• 这说明四棱锥的一条侧棱垂直于底面，且该侧棱的顶点投影在底面正方形的一个顶点上。

3. 建立模型：将该四棱锥放入一个棱长为 2 的正方体中。底面为正方体的下底面，顶点 $P$ 为正方体上底面的一个顶点，垂足为下底面对应的顶点。
4. 计算棱长：

• 底面 4 条边长均为 $2$。
• 侧棱中：一条垂直侧棱长为 $2$；两条侧面投影侧棱长为 $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；最长的一条侧棱为正方体的体对角线。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】


由三视图可知，该几何体是一个底面边长为 2 的正方形，高为 2 的四棱锥。 不妨将其放入棱长为 2 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中。 底面四边形对应正方形 $ABCD$，顶点 $P$ 对应点 $A_1$。 则该四棱锥的侧棱分别为：

• $A_{1}A=2$
• $A_{1}B=\sqrt{A{B}^2+A_1{A}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
• $A_{1}D=\sqrt{A{D}^2+A_1{A}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
• $A_{1}C=\sqrt{A{C}^2+A_1{A}^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+2^2}=\sqrt{8+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 比较可知，最长棱为 $A_{1}C$，长度为 $2\sqrt{3}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 长方体嵌入法：对于此类顶点投影在特殊位置（顶点、中点、中心）的几何体，将其补全为长方体或正方体是最有效的思考方式。
• 体对角线：在棱长为 $a,b,c$ 的长方体中，最长棱通常是体对角线 $L=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。本题即为 $\sqrt{2^2+2^2+2^2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以归纳此类“垂直型四棱锥”的侧棱长特征： 若高为 $h$，底面为边长 $a$ 的正方形，且高在顶点处：

• 侧棱集合为 $\{h,\sqrt{h^2+a^2},\sqrt{h^2+a^2},\sqrt{h^2+2a^2}\}$。
• 侧面积之和 = 两个直角三角形 + 两个非直角三角形面积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-09 单-三视图
• 2014-新课标I卷文-08 单-三视图
• 2014-湖北卷文-07 单-三视图