2013-新课标II卷文-09 单-三视图

本题导读

本题考查空间直角坐标系中的点坐标，以及三视图与正投影。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中的坐标分别是 $(1,0,1)$，$(1,1,0)$，$(0,1,1)$，$(0,0,0)$，画该四面体三视图中的正视图时，以 $zOx$ 平面为投影面，则得到正视图可以为()

（A）	（B）
（C）	（D）

🔍【思路分析】

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1. 投影方向沿 $y$ 轴，把每个顶点的 $y$ 坐标舍去。
2. 得投影点 $A^{\prime }(1,0,1)$（对应原 $(1,0,1)$）、$B^{\prime }(1,0,0)$（对应原 $(1,1,0)$）、$C^{\prime }(0,0,1)$（对应原 $(0,1,1)$）、$O(0,0,0)$。
3. 画在 $xOz$ 坐标为横轴 $x$、纵轴 $z$ 的平面内，得到单位正方形 $O(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$，其中 $(1,0,1)$、$(0,1,1)$ 的连线为一条对角线。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

以 $zOx$ 平面为投影面，正投影方向沿 $y$ 轴，故把四个顶点的 $y$ 坐标舍去：

• $(1,0,1)\mapsto (1,1)$（在 $zOx$ 平面内记 $(x,z)=(1,1)$）；
• $(1,1,0)\mapsto (1,0)$；
• $(0,1,1)\mapsto (0,1)$；
• $(0,0,0)\mapsto (0,0)$。 四个投影点恰为单位正方形的四个顶点 $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$，故正视图的外轮廓是正方形。 再看棱的投影：连结 $(1,0,1)$ 与 $(1,1,0)$ 的棱投影为 $(1,1)$ 到 $(1,0)$ 的竖直线段（正方形的右边）；连结 $(1,0,1)$ 与 $(0,1,1)$ 的棱投影为 $(1,1)$ 到 $(0,1)$ 的水平线段（正方形的上边）。 另外两条棱：(1,0,1)-(0,0,0) 的投影为 $(1,1)$ 到 $(0,0)$ 的对角线（自左下到右上，可见，画实线）；(1,1,0)-(0,1,1) 的投影为 $(1,0)$ 到 $(0,1)$ 的对角线（在四面体后方被遮挡，画虚线）。 故正视图为正方形内一条实对角线（左下—右上）加一条虚对角线（左上—右下），选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图（空间直角坐标系中的投影）

核心方法：把四个顶点投影到 $zOx$ 平面，画出投影四边形再作判断

避坑指南：以 $zOx$ 平面为投影面时，正视图的横轴对应 $x$、纵轴对应 $z$，$y$ 坐标被”压掉”；四条棱中不在投影面上的部分要判断可见性（实线）与遮挡性（虚线）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图与投影（全国卷常考）。

结论推广：正视图（主视图）是光线由前向后投射所成的投影，投影面为 $zOx$ 平面时投影方向沿 $y$ 轴。

方法推广：顶点型三视图问题：把各顶点坐标”丢掉一个分量”得到投影点，再顺次连线；可见棱画实线、被遮挡棱画虚线。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-06 单-三视图圆柱切削
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图
• 2013年新课标Ⅱ理-9