2017-天津卷文-11 填-外接球

本题导读

考查正方体外接球的性质、表面积计算以及球的体积公式的应用。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 已知一个正方体所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据正方体表面积求出正方体棱长 $a$。
2. 利用正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长 ($2R=\sqrt{3}a$)，求出球的半径 $R$。
3. 利用球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 计算球的体积。

✅【答案】

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$\frac{9\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设正方体的棱长为 $a$，其表面积为 $6a^2=18$， 解得 $a^2=3$，故棱长 $a=\sqrt{3}$。 正方体的体对角线长为 $\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}a=\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3$。 因为正方体的所有顶点均在球面上，所以正方体的体对角线即为外接球的直径 $2R=3$， 从而外接球半径 $R=\frac{3}{2}$。 该球的体积为： $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \times \frac{27}{8}=\frac{9\pi }{2}$。 故答案为：$\frac{9\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体外接球半径、球体积公式。
2. 核心方法：体对角线等于球直径关系法。
3. 避坑指南：切勿将正方体内切球半径（$r=\frac{a}{2}$）与外接球半径（$R=\frac{\sqrt{3}}{2}a$）混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何球与多面体切接问题基础题。
2. 结论推广: 长方体外接球直径等于体对角线 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-05 单-外接球
• 2019-天津卷文-12 填-外接球
• 2019-全国卷I理-12 单-外接球