2017-天津卷文-13 填-基本不等式

本题导读

考查利用基本不等式求分式代数式的最小值，重在代数式的恒等变形与拆项技巧。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 若 $a,b\in \mathbf{R}$，$ab>0$，则 $\frac{a^4+4b^4+1}{ab}$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将分式进行拆项，化简为 $\frac{a^3}{b}+\frac{4b^3}{a}+\frac{1}{ab}$ 或其他组合。
2. 观察各项特征，利用基本不等式或换元法寻找能够消去变量的组合。
3. 注意 $ab>0$ 保证了各项的正负号条件。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：先对分子前两项用基本不等式 由基本不等式： $a^4+4b^4\ge 2\sqrt{a^4\cdot 4b^4}=4a^2{b}^2$。 所以分子 $a^4+4b^4+1\ge 4a^2{b}^2+1$。

第二步：再对 $4a^2{b}^2+1$ 用基本不等式 $4a^2{b}^2+1\ge 2\sqrt{4a^2{b}^2\cdot 1}=4|ab|$。 因为 $ab>0$，所以 $|ab|=ab$，即 $a^4+4b^4+1\ge 4ab$。

第三步：得出结论 $\frac{a^4+4b^4+1}{ab}\ge \frac{4ab}{ab}=4$。 等号成立需同时满足：$a^4=4b^4$ 且 $4a^2{b}^2=1$，即 $a^2=2b^2$ 且 $2ab=1$。 解得 $b^2=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$b=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$，$a=\sqrt{2}b$，此时等号成立。 所以 $\frac{a^4+4b^4+1}{ab}$ 的最小值为 $4$。 故答案为：$4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式求最值、代数式恒等变形。
2. 核心方法：合理拆项与多次运用基本不等式。
3. 避坑指南：拆项时必须确保各项在取极值时能够同时取到等号，且变量能够完全约分化简为常数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考代数最值经典压轴填空题。
2. 结论推广: 形如 $\frac{x^m+y^n+z^p}{...}$ 的最值问题，核心在于利用基本不等式时满足“等号同时成立”的条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2013-新课标II卷理-24 解-基本不等式
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式