2017-天津卷理-05 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左焦点为 $F$，离心率为 $\sqrt{2}$.若经过 $F$ 和 $P(0,4)$ 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1$

C. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析离心率：已知 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$。由此可得 $c^2=2a^2$。

• 根据 $c^2=a^2+b^2$，代入得 $2a^2=a^2+b^2⟹a^2=b^2⟹a=b$。
• 此时双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为 $y=\pm x$。

2. 分析直线与平行关系：

• 左焦点 $F$ 坐标为 $(-c,0)$，已知点 $P(0,4)$。
• 直线 $FP$ 的斜率 $k_{FP}=\frac{4-0}{0-(-c)}=\frac{4}{c}$。
• 该直线平行于渐近线 $y=\pm x$，斜率为 $1$ 或 $-1$。
• 因为 $c>0$ 且 $\frac{4}{c}>0$，故必有 $\frac{4}{c}=1⟹c=4$。

3. 求解 $a,b$：

• 由 $c=4$ 且 $c=\sqrt{2}a$，解得 $a=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
• 所以 $a^2=8,b^2=8$。

4. 得出结论：双曲线方程为 $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】

1. 利用离心率性质： 由于离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$， 则 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+(\frac{b}{a}{)}^2=2$。 由此得 $\frac{b}{a}=1$，即 $a=b$。 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm x$。
2. 利用直线平行条件： 左焦点 $F(-c,0)$，点 $P(0,4)$。 直线 $FP$ 的斜率 $k=\frac{4-0}{0-(-c)}=\frac{4}{c}$。 因为直线 $FP$ 平行于渐近线，所以 $\frac{4}{c}=1$（斜率须为正），解得 $c=4$。
3. 确定标准方程： 由 $c=4$ 且 $a=b$，代入 $c^2=a^2+b^2$ 得 $16=2a^2$， 解得 $a^2=8,b^2=8$。 故双曲线方程为 $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 特殊双曲线：离心率 $e=\sqrt{2}$ 的双曲线必然是等轴双曲线 ($a=b$)，其渐近线互相垂直。
• 几何要素的联系：熟练掌握 $a,b,c,e$ 及渐近线斜率之间的转化。
• 在处理圆锥曲线方程求解时，通过题干条件列出关于参数的方程组是通用方法。本题通过“平行”锁定斜率，从而确定 $c$ 的值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目改为右焦点，斜率会发生什么变化？（提示：斜率将变为 $\frac{4}{-c}$，则应与 $y=-x$ 平行）。
2. 知识关联：本题考查了直线与双曲线的位置关系。若直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个交点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线