2017-天津卷理-10 填-外接球

本题导读

本题考查正方体的性质，以及多面体的外接球。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求正方体边长：设正方体的边长为 $a$。根据正方体表面积公式 $S=6a^2=18$，求出 $a$ 或 $a^2$。
2. 确定外接球半径：正方体外接球的直径 $2R$ 等于正方体的体对角线。 根据公式：$2R=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}a$。
3. 计算球体体积：得到半径 $R$ 后，代入球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{9\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{9\pi }{2}$ 【解析过程】 设正方体的棱长为 $a$，其外接球半径为 $R$。 由正方体的表面积为 18 可得： $6a^2=18⟹a^2=3$。 由于正方体的所有顶点都在球面上，则球为该正方体的外接球。 正方体的体对角线即为球的直径： $(2R{)}^2=a^2+a^2+a^2=3a^2$。 代入 $a^2=3$ 得： $(2R{)}^2=3\times 3=9⟹2R=3⟹R=\frac{3}{2}$。 该球的体积为： $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \times (\frac{3}{2}{)}^3=\frac{4}{3}\pi \times \frac{27}{8}=\frac{9\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何体嵌套模型：
• 正方体外接球直径 = 体对角线 = $\sqrt{3}a$。
• 正方体内切球直径 = 棱长 = $a$。
• 正方体棱切球直径 = 面对角线 = $\sqrt{2}a$。
• 在处理外接球问题时，寻找“贯穿”几何体的对称轴或最长对角线作为直径是常用的突破口。本题属于基础模型，牢记 $\sqrt{3}a=2R$ 即可秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若该球是正方体的内切球，其体积是多少？（提示：$2R=a=\sqrt{3}$，则 $V=\frac{\sqrt{3}\pi }{2}$）。
2. 知识关联：对于长方体外接球，同样的原理适用：$(2R{)}^2=a^2+b^2+c^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-05 单-外接球
• 2019-天津卷文-12 填-外接球
• 2019-全国卷I理-12 单-外接球