2017-天津卷理-12 填-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式，以及求函数的最值。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 若 $a,b\in \mathbb{R}$，$ab>0$，则 $\frac{a^4+4b^4+1}{ab}$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构观察：分子含有 $a^4$ 和 $4b^4$ 以及常数 1，分母为 $ab$。由于 $ab>0$，可以考虑将分子项两两组合利用基本不等式。
2. 第一次不等式：针对 $a^4$ 和 $4b^4$，利用 $x^2+y^2\ge 2xy$： $a^4+4b^4\ge 2\sqrt{a^4\cdot 4b^4}=4a^2{b}^2$。 等号成立条件是 $a^4=4b^4$，即 $a^2=2b^2$。
3. 第二次不等式：将上述结果代入原式： $\frac{a^4+4b^4+1}{ab}\ge \frac{4a^2{b}^2+1}{ab}=4ab+\frac{1}{ab}$。 针对 $4ab$ 和 $\frac{1}{ab}$ 再利用一次基本不等式： $4ab+\frac{1}{ab}\ge 2\sqrt{4ab\cdot \frac{1}{ab}}=4$。 等号成立条件是 $4ab=\frac{1}{ab}$，即 $ab=\frac{1}{2}$。
4. 校验等号一致性：检查方程组 $\{\begin{array}{l}{a}^2=2b^2\\ ab=\frac{1}{2}\end{array}$ 是否有实数解。若有解，则最小值 4 可以取得。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 4 【解析过程】 因为 $a,b\in \mathbb{R}$ 且 $ab>0$，则 $a^2>0$，$b^2>0$。 利用基本不等式 $x^2+y^2\ge 2xy$： $a^4+4b^4\ge 2\sqrt{a^4\cdot 4b^4}=4a^2{b}^2$。 则原式 $\frac{a^4+4b^4+1}{ab}\ge \frac{4a^2{b}^2+1}{ab}=4ab+\frac{1}{ab}$。 再利用基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$（$x,y>0$）： $4ab+\frac{1}{ab}\ge 2\sqrt{4ab\cdot \frac{1}{ab}}=2\times 2=4$。 等号成立条件分析：

1. 第一次等号成立要求 $a^4=4b^4⟹a^2=2b^2$；
2. 第二次等号成立要求 $4ab=\frac{1}{ab}⟹(ab{)}^2=\frac{1}{4}⟹ab=\frac{1}{2}$（因为 $ab>0$）。 将 $a^2=2b^2$ 代入 $ab=\frac{1}{2}$ 得： $\sqrt{2}b\cdot b=\frac{1}{2}⟹b^2=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。 对应的 $a^2=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 由于 $a,b$ 有实数解，说明两次等号可以同时取得。 因此，该表达式的最小值为 4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 多重均值不等式：当连续使用基本不等式时，必须确保每一环节的等号成立条件不冲突。
• 分子拆分技巧：本题将 $a^4+4b^4$ 看作一个整体，利用其对称性和分母的次数关系进行化简。
• 本题容易错在只关注数值计算而忽略了等号校验。在填空题中，如果发现数值很“整”，通常等号是可以取得的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2013-新课标II卷理-24 解-基本不等式
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式