2017-天津卷理-14 填-排列组合

本题导读

本题考查排列组合，以及分类加法计数原理。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 用数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有$\underline{}$个.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 元素特征分析：

• 奇数有：1, 3, 5, 7, 9（共 5 个）。
• 偶数有：2, 4, 6, 8（共 4 个）。

2. “至多一个”分类讨论：

• 情况一：没有偶数（即 4 位全是奇数）。 从 5 个奇数中选出 4 个进行排列。
• 情况二：恰有一个偶数。 从 4 个偶数中选 1 个，从 5 个奇数中选 3 个，再对这 4 个选出的数字进行全排列。

3. 计算与汇总：应用分类加法计数原理，将两种情况的结果相加。

✅【答案】

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1080

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 1080 【解析过程】 根据题意，将符合条件的四位数分为两类：

• 第一类：四位全是奇数。 从 5 个奇数中任选 4 个进行排列，共有： $A_5^4=5\times 4\times 3\times 2=120$（个）。
• 第二类：恰有一个偶数，三个奇数。

1. 先选数：从 4 个偶数中选 1 个，有 $C_4^1$ 种选法；从 5 个奇数中选 3 个，有 $C_5^3$ 种选法。
2. 再排列：将选出的 4 个数字进行全排列，有 $A_4^4$ 种排法。 共有：$C_4^1\cdot C_5^3\cdot A_4^4=4\times 10\times 24=960$（个）。

• 汇总： 根据分类加法计数原理，总数为 $120+960=1080$（个）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 关键词识别：“至多”通常意味着需要分类讨论；“没有重复数字”意味着需要使用排列（或先组合后排列）。
• 常见误区：部分考生可能会漏掉“全为奇数”的情况，或者在第二类情况下忘记对选出的 4 个数进行全排列。
• 在排列组合题目中，“先选后排”是一个非常稳健的策略，可以有效避免重复或遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2018-江苏卷-23 解-排列组合
• 2020-全国卷II理-14 填-排列组合
• 2020-全国卷I文-04 单-排列组合