2020-全国卷II理-14 填-排列组合

本题导读

本题考查排列组合，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）14. 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有$\underline{}$. 种。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析分组结构：

• 总人数 4 人，小区 3 个，每小区至少 1 人。
• 唯一的分配方案是：其中一个小区去 2 人，另外两个小区各去 1 人（即 $4=2+1+1$）。

2. 制定解题步骤（先分堆，后分配）：

• 第一步（分堆）： 从 4 人中选出 2 人组成一组，剩下的 2 人各成一组。
  • 选法种数：$C_4^2$。
• 第二步（分配）： 将这 3 组人安排到 3 个不同的小区。
  • 排法种数：$A_3^3$。

✅【答案】

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36

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 36

【解析过程】

1. 分堆（确定哪两个人在一起）： 从 4 名同学中任选 2 人当作一个整体，共有 $C_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$ 种选法。 此时 4 人被分成了 3 组，人数规模分别为 2, 1, 1。

2. 分配（安排到小区）： 将这 3 组人全排列分配到 3 个不同的小区，共有 $A_3^3=3\times 2\times 1=6$ 种排法。

3. 计算总数： 根据分步乘法计数原理，总方法数为： $N=C_4^2\times A_3^3=6\times 6=36$

故答案为：36。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 分组分配模型： 解决此类问题的通用公式是 $\frac{C_n^{n_1}{C}_{n-n_1}^{n_2}\dots }{k!}\times A_m^m$。其中 $k!$ 用于修正平均分组产生的重复，但本题是 2-1-1 分组，属于非平均分组，直接 $C_4^2$ 即可。
• 常见误区：
  • 重复计数： 如果先选 3 个人去 3 个小区 ($A_4^3$)，再把第 4 个人随便塞进一个小区 ($C_3^1$)，会导致重复（例如 A、B 两人在 1 小区，既可以是 A 被选中 B 补进，也可以是 B 被选中 A 补进）。
  • 漏掉排列： 仅仅分完堆（得出 6）而没有分配到小区。
• 数字敏感度： 这种小规模的分配问题，36 是一个非常高频的正确答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目改为“5 名同学去 3 个小区，每小区至少 1 人”，情况会复杂一些。分配结构有两种可能：3-1-1 或 2-2-1。

• 3-1-1 型： $C_5^3\times A_3^3=10\times 6=60$ 种。
• 2-2-1 型： $\frac{C_5^2{C}_3^2}{2!}\times A_3^3=\frac{10\times 3}{2}\times 6=15\times 6=90$ 种。（注意 2-2 属于平均分组，需除以 $2!$）
• 总数： $60+90=150$ 种。 掌握了“分堆+分配”的二步法，可以解决绝大多数此类排列组合题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理
• 2014-大纲卷理-05 单-组合
• 1989-全国卷理-12 单-排列计数