2020-全国卷I文-04 单-排列组合

本题导读

本题考查古典概型，以及排列组合与几何共线。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）设 $O$ 为正方形 $ABCD$ 的中心, 在 $O,A,B,C,D$ 中任取 3 点, 则取到的 3 点共线的概率为 ( )

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{2}{5}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 总共包含 $O,A,B,C,D$ 共 5 个点，从中任取 3 点，计算总的基本事件数（组合数）。
2. 分析这 5 个点中哪 3 点共线：在正方形中，对角线上的点（如 $A,O,C$）和（$B,O,D$）以及对边中点连线等，找出所有三点共线的组合数。
3. 利用古典概型概率公式计算。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

从 $O,A,B,C,D$ 这 5 个点中任取 3 点，总的取法种数为： $N=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$ 种。 考察这 5 个点中的共线情况： 正方形 $ABCD$ 中，

• 对角线 $AC$ 上包含点 $A,O,C$，这 3 点共线，有 1 种；
• 对角线 $BD$ 上包含点 $B,O,D$，这 3 点共线，有 1 种。 其余任意 3 点组合均不共线（例如包含邻边顶点和中心的组合不共线）。 因此，取到的 3 点共线的基本事件共有 2 种。 所求的概率为： $P=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$. 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型、几何共线判定。
2. 核心方法：利用组合数公式求总事件数，结合几何图形性质找出共线点组。
3. 避坑指南：正方形的中心 $O$ 与相对的两个顶点（如 $A,C$ 或 $B,D$）在同一直线上，切勿漏掉对角线上的共线关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考概率与几何交汇的基础选择题。
2. 结论推广：在规则几何图形中判定点共线，通常依托对称性与对角线性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-13 填-古典概型
• 2014-陕西卷理-06 单-古典概型
• 2008-北京卷文-18 解-均匀分组概率