2017-天津卷理-18 解-数列综合

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的通项公式。核心在于方程组法、错位相减法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_n(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$，$\{b_n\}$ 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，$b_2+b_3=12$，$b_3=a_4-2a_1$，$S_{11}=11b_4$.

(1)求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2)求数列 $\{a_{2n}{b}_{2n-1}\}$ 的前 $n$ 项和 ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$).

🔍【思路分析】

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1. 第一问（通项求解）：

• 设等差数列 $\{a_n\}$ 公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 公比为 $q$ ($q>0$)。
• 利用 $b_2+b_3=12$ 建立关于 $q$ 的方程，求出 $q$。
• 利用 $b_3=a_4-2a_1$ 和 $S_{11}=11b_4$ 建立关于 $a_1,d$ 的二元一次方程组，求出首项和公差。

2. 第二问（数列求和）：

• 写出新数列的通项 $c_n=a_{2n}{b}_{2n-1}$。
• 观察发现 $c_n$ 是由等差数列 $\{6n-2\}$ 和等比数列 $\{2\cdot 4^{n-1}\}$ 的对应项相乘构成的。
• 使用错位相减法：列出前 $n$ 项和 $T_n$，再写出 $4T_n$，两式相减，中间部分利用等比数列求和公式计算，最后化简得出结果。

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$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=3n-2$，$\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=2^n$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。 由 $b_1=2$ 且 $b_2+b_3=12$，得 $2q+2q^2=12$，即 $q^2+q-6=0$。 因为 $q>0$，解得 $q=2$。 所以 $b_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$。 由此可得 $b_3=8$，$b_4=16$。 由题意 $\{\begin{array}{l}{a}_4-2a_1=8\\ S_{11}=11\times 16\end{array}⟹\{\begin{array}{l}(a_1+3d)-2a_1=8\\ 11a_1+\frac{11\times 10}{2}d=176\end{array}⟹\{\begin{array}{l}3d-a_1=8\\ a_1+5d=16\end{array}$。 解得 $a_1=1,d=3$。 所以 $a_n=1+(n-1)\times 3=3n-2$。 综上，$\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=3n-2$，$\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=2^n$。

(2)设数列 $\{a_{2n}{b}_{2n-1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$。 由(1)知 $a_{2n}=3(2n)-2=6n-2$，$b_{2n-1}=2^{2n-1}=2\cdot 4^{n-1}$。 则 $a_{2n}{b}_{2n-1}=(6n-2)\cdot 2\cdot 4^{n-1}=(3n-1)\cdot 4^n$。 $T_n=2\cdot 4+5\cdot 4^2+8\cdot 4^3+\cdots +(3n-1)\cdot 4^n$ ① $4T_n=2\cdot 4^2+5\cdot 4^3+\cdots +(3n-4)\cdot 4^n+(3n-1)\cdot 4^{n+1}$ ② ① - ② 得： $-3T_n=2\cdot 4+[3\cdot 4^2+3\cdot 4^3+\cdots +3\cdot 4^n]-(3n-1)\cdot 4^{n+1}$ $-3T_n=8+\frac{3\cdot 4^2(1-4^{n-1})}{1-4}-(3n-1)\cdot 4^{n+1}$ $-3T_n=8-16(1-4^{n-1})-(3n-1)\cdot 4^{n+1}$ $-3T_n=8-16+4\cdot 4^n-(3n-1)\cdot 4^{n+1}=-8+4^{n+1}-(3n-1)\cdot 4^{n+1}$ $-3T_n=-8-(3n-2)\cdot 4^{n+1}$。 所以 $T_n=\frac{3n-2}{3}\cdot 4^{n+1}+\frac{8}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基本量思想：数列题的第一步通常是“基本量化”，即用 $a_1,d,q$ 表达所有条件。
• 错位相减的规范性：

1. 准确写出第 $n$ 项和第 $n+1$ 项。
2. 相减后注意首项是否能并入等比数列求和。
3. 最后两边除以 $(1-q)$ 时不要漏掉。

• 天津卷数列题计算量偏大，(2)问中自变量是 $2n$ 和 $2n-1$，代入时极易出错，建议先单独写出 $a_{2n}$ 和 $b_{2n-1}$ 的表达式再相乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若要求 $S_n={\sum }_{i=1}^n\frac{a_i}{b_i}$，应该采用什么方法？（提示：仍然是错位相减法，公比变为 $1/2$）。
2. 知识关联：错位相减法求出的结果可以通过 $n=1,2$ 进行验算，这是避免计算失误的有效手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-23 解-数列综合
• 2015-福建卷文-17 解-数列综合
• 2020-江苏卷-20 解-数列综合