2017-山东卷文-05 单-量词命题

本题导读

考查特称命题与全称命题的真假判定，涉及二次函数根的判别式及不等式性质。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 已知命题 $p:\exists x\in \mathbf{R},x^2-x+1\ge 0$.命题 $q$: 若 $a^2<b^2$，则 $a<b$，下列命题为真命题的是 ()

A. $p\wedge q$　　　　　　B. $p\wedge \neg q$　　　　　　C. $\neg p\wedge q$　　　　　　D. $\neg p\wedge \neg q$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断命题 $p$ 的真假：分析 $x^2-x+1$ 的判别式或直接取特殊值验证存在性。
2. 判断命题 $q$ 的真假：利用不等式性质举反例（如取 $a=2,b=-3$ 或 $a=-2,b=3$）判断其正误。
3. 结合复合命题真值表得出结论。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

对于命题 $p$：因为对应二次方程 $x^2-x+1=0$ 的判别式 $\Delta =(-1{)}^2-4(1)(1)=-3<0$，所以抛物线开口向上且恒大于0，故“$\exists x\in \mathbf{R},x^2-x+1\ge 0$”显然成立，因此 $p$ 是真命题。 对于命题 $q$：若 $a^2<b^2$，例如取 $a=2,b=-3$，此时 $a^2=4,b^2=9$，满足 $a^2<b^2$，但 $a=2>b=-3$，不满足 $a<b$，故 $q$ 是假命题，从而 $\neg q$ 是真命题。 综上，$p$ 为真命题，$\neg q$ 为真命题，所以 $p\wedge \neg q$ 为真命题。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合命题真假性、特称与全称命题判定。
2. 核心方法：判别式法与反例构造法。
3. 避坑指南：注意不等式两边同平方或开方时的符号影响，严谨对待绝对值与不等号关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考常用逻辑用语综合判断题。
2. 结论推广: 证明全称或特称命题真假常结合二次函数判别式；判断不等式推断常用特值反例法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-新课标卷文-02 单-全称量词命题的否定
• 2010-天津卷文-05 单-量词命题与奇偶性
• 2010-湖南卷文-02 单-全称存在量词命题