2010-天津卷文-05 单-量词命题与奇偶性

本题导读

考查含量词命题的真假。$m=0$ 时 $f(x)=x^2$ 是偶函数，A 为真命题；奇函数不可能，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 下列命题中，真命题是()

A. $\exists m\in \mathbf{R}$，使函数 $f(x)=x^2+mx$ ($x\in \mathbf{R}$) 是偶函数

B. $\exists m\in \mathbf{R}$，使函数 $f(x)=x^2+mx$ ($x\in \mathbf{R}$) 是奇函数

C. $\forall m\in \mathbf{R}$，使函数 $f(x)=x^2+mx$ ($x\in \mathbf{R}$) 是偶函数

D. $\forall m\in \mathbf{R}$，使函数 $f(x)=x^2+mx$ ($x\in \mathbf{R}$) 是奇函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(-x)=x^2-mx$。
2. 偶函数 $⟺mx=0$ 对一切 $x$ 成立 $⟺m=0$，存在这样的 $m$。
3. 奇函数 $⟺x^2=0$ 对一切 $x$ 成立，不可能。
4. 故 A 真，B、C、D 假。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$f(-x)=(-x{)}^2+m(-x)=x^2-mx$。 $f(x)$ 为偶函数 $⟺f(-x)=f(x)$ 对一切 $x\in \mathbf{R}$ 成立 $⟺2mx=0$ 对一切 $x$ 成立 $⟺m=0$。 故存在 $m=0$ 使 $f(x)=x^2$ 为偶函数，A 真，C 假（$m\ne 0$ 时不是偶函数）。 $f(x)$ 为奇函数 $⟺x^2-mx=-x^2-mx$，即 $x^2=0$ 对一切 $x$ 成立，不可能，B、D 假。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含量词命题的真假判断

核心方法：特称命题找一例，全称命题找反例

避坑指南：偶函数要求 $2mx=0$ 对一切 $x$ 成立，只有 $m=0$ 可行；奇函数要求 $x^2=0$ 恒成立，任何 $m$ 都不行——四个选项要逐一回到定义验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\exists$ 命题为真只需一个实例，$\forall$ 命题为假只需一个反例。

结论推广：$f(x)=x^2+mx$ 的对称轴 $x=-\frac{m}{2}$，只有对称轴为 $y$ 轴时才是偶函数。

方法推广：命题的否定与命题真假判断常配对考查。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-11 单-量词与指对真命题
• 2012-辽宁卷文-05 单-全称命题的否定
• 2011-辽宁卷文-04 单-存在命题的否定
• 2009-陕西卷文-10 单-偶函数单调性