2010-湖南卷文-02 单-全称存在量词命题

本题导读

考查量词命题真假。A 取 $x=1$ 真，B 取 $x=\frac{\pi }{4}$ 真，C 中 $x⩽0$ 时 $x^3⩽0$ 为假，D 由指数函数值域恒真，故假命题是 C。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 下列命题中的假命题是()

A. $\exists x\in \mathbf{R}$，$\lg x=0$　　B. $\exists x\in \mathbf{R}$，$\tan x=1$　　C. $\forall x\in \mathbf{R}$，$x^3>0$　　D. $\forall x\in \mathbf{R}$，$2^x>0$

🔍【思路分析】

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1. 存在量词命题只需找到一个正例即为真。
2. 全称量词命题必须对所有实数成立，找反例即否证。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

A. 取 $x=1$，$\lg 1=0$，存在性成立，真命题. B. 取 $x=\frac{\pi }{4}$，$\tan \frac{\pi }{4}=1$，真命题. C. 取 $x=0$，$0^3=0>0$ 不成立（$x<0$ 时 $x^3<0$ 也不成立），假命题. D. 由指数函数 $y=2^x$ 的值域为 $(0,+\infty )$，对一切 $x\in \mathbf{R}$ 恒有 $2^x>0$，真命题. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：全称量词与存在量词命题的真假

核心方法：存在量词命题找正例即真，全称量词命题找反例即假

避坑指南：判定 $\forall x\in \mathbf{R}$ 型命题时，$x=0$ 常是试出的反例（$0^3=0$ 不大于 $0$）；指数函数 $2^x>0$ 恒真是必背结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：量词命题真假判断是”找例子”的功夫，与函数值域结合出题最常见。

结论推广：$\exists$ 命题一例定真、全否才假；$\forall$ 命题一例定假、全证才真。

方法推广：先看量词，再逐项给例子：正例要与条件完全匹配，反例只需一处不符。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-04 单-三角命题真假
• 2009-辽宁卷文-11 单-量词与指对真命题
• 2011-辽宁卷文-04 单-存在命题的否定
• 2012-辽宁卷文-05 单-全称命题的否定