2017-山东卷文-15 填-双曲线

本题导读

考查双曲线与抛物线的综合交点问题，巧妙利用抛物线定义转化焦半径和，进而求出双曲线的渐近线方程。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^2=2py$ ($p>0$) 交于 $A,B$ 两点，若 $|AF|+|BF|=4|OF|$，则该双曲线的渐近线方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确抛物线的焦点 $F$ 坐标及准线方程，利用抛物线定义将交点到焦点的距离转化到准线的距离。
2. 结合 $|AF|+|BF|=4|OF|$ 建立几何方程，求出相关参数关系。
3. 最终求出双曲线的 $a,b$ 关系，写出渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

✅【答案】

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$y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $x^2=2py$ 的焦点为 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$，准线为 $y=-\frac{p}{2}$，$|OF|=\frac{p}{2}$。 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由抛物线定义： $|AF|=y_1+\frac{p}{2}$，$|BF|=y_2+\frac{p}{2}$。 由 $|AF|+|BF|=4|OF|$，得 $y_1+y_2+p=4\cdot \frac{p}{2}=2p$，即 $y_1+y_2=p$。 把 $x^2=2py$ 代入双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，消去 $x$ 得 $a^2{y}^2-2p{b}^{2}y+a^2{b}^2=0$。 由根与系数的关系，$y_1+y_2=\frac{2p{b}^2}{a^2}$。 故 $\frac{2p{b}^2}{a^2}=p$，即 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 所以双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线（双曲线与抛物线）的定义与交线性质。
2. 核心方法：抛物线定义转化法、对称坐标代入法。
3. 避坑指南：熟练掌握抛物线焦半径的几何转化（化为纵坐标加焦参数的一半）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线综合压轴填空题。
2. 结论推广: 抛物线定义是解决焦半径问题的首选利器，能够有效避免繁琐的弦长公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线