2017-山东卷文-17 解-解三角形

本题导读

考查平面向量数量积、三角形面积公式以及余弦定理的综合应用，重点考查解三角形的基本技能。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $b=3$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6$，$S_{△ABC}=3$，求 $A$ 和 $a$.

🔍【思路分析】

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1. 利用向量数量积公式 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos A=-6$，代入 $b=3$ 建立关于 $c$ 和 $\cos A$ 的方程。
2. 利用三角形面积公式 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=3$，代入 $b=3$ 建立关于 $c$ 和 $\sin A$ 的方程。
3. 将两方程相比求出 $\tan A$，进而求出角 $A$ 及边长 $c$，最后通过余弦定理求出边 $a$。

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$A=\frac{3\pi }{4}$，$a=\sqrt{29}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求角 $A$： 由 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos A=-6$，且 $b=3$， 可得 $3c\cos A=-6⟹c\cos A=-2$。 由三角形面积公式 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=3$，且 $b=3$， 可得 $\frac{1}{2}\times 3\times c\sin A=3⟹\frac{3}{2}c\sin A=3⟹c\sin A=2$。 两式相比得： $\frac{c\sin A}{c\cos A}=\frac{2}{-2}⟹\tan A=-1$。 因为 $A$ 是三角形的内角，所以 $A=\frac{3\pi }{4}$ （即 $135^{\circ }$）。

(2) 求边 $a$： 由 $c\sin A=2$，且 $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， 可得 $c\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2⟹c=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。 在 $△ABC$ 中，已知 $b=3$，$c=2\sqrt{2}$，$A=\frac{3\pi }{4}$， 由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 可得： $a^2=3^2+(2\sqrt{2}{)}^2-2\times 3\times 2\sqrt{2}\times \cos \frac{3\pi }{4}$ $=9+8-12\sqrt{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $=17+12=29$。 因此，边 $a=\sqrt{29}$。 综上，$A=\frac{3\pi }{4}$，$a=\sqrt{29}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积、三角形面积公式、余弦定理。
2. 核心方法：切化弦法（$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$）求角。
3. 避坑指南：三角形内角范围为 $(0,\pi )$，当 $\tan A<0$ 时，角 $A$ 必定为钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形解答题常规第一题。
2. 结论推广: 向量数量积与面积公式联立是求解三角形中边角关系的重要桥梁。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形