2017-江苏卷-08 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及渐近线方程与准线方程。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 $P,Q$，其焦点是 $F_1,F_2$，则四边形 $F_{1}P{F}_{2}Q$ 的面积是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定双曲线基本量：由方程 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 可知 $a^2=3,b^2=1$。由此求出 $c^2=a^2+b^2=4$，即 $a=\sqrt{3},b=1,c=2$。
2. 写出关键直线方程：

• 渐近线：$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$。
• 右准线：$x=\frac{a^2}{c}=\frac{3}{2}$。

3. 求交点坐标：将右准线方程代入渐近线方程，求出 $P,Q$ 两点的坐标。
4. 计算面积：

• 焦点 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$ 在 $x$ 轴上，底边 $|F_1{F}_2|=2c=4$。
• $P,Q$ 关于 $x$ 轴对称，四边形 $F_{1}P{F}_{2}Q$ 可以看作是底边为 $F_1{F}_2$ 的两个三角形 $△F_1{F}_{2}P$ 和 $△F_1{F}_{2}Q$ 的并集。
• 面积 $S=2\times S_{△F_1{F}_{2}P}=2\times (\frac{1}{2}\cdot |F_1{F}_2|\cdot |y_P|)$。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：计算基本几何量 双曲线方程为 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$，则 $a=\sqrt{3},b=1$。 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3+1}=2$。 焦点为 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$，焦点间距 $|F_1{F}_2|=2c=4$。

第二步：求 $P,Q$ 坐标 右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{3}{2}$。 渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$。 联立方程： 当 $x=\frac{3}{2}$ 时，$y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。 故 $P(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$Q(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$。

第三步：计算面积 四边形 $F_{1}P{F}_{2}Q$ 关于 $x$ 轴对称。 线段 $F_1{F}_2$ 位于 $x$ 轴上，其长度为 4。 点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $h=|y_P|=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 则 $S_{△F_1{F}_{2}P}=\frac{1}{2}\times |F_1{F}_2|\times |y_P|=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。 由对称性得： $S_{F_{1}P{F}_{2}Q}=2\times S_{△F_1{F}_{2}P}=2\sqrt{3}$。

故答案为：$2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何特性的妙用：前述提到的“双曲线焦点到渐近线的距离为 $b$，垂足为对应准线与渐近线的交点”是一个非常深刻的结论。在本题中，由于 $P$ 是准线与渐近线的交点，则 $F_{2}P\perp$ 渐近线 $OP$，且 $|F_{2}P|=b=1$。
• 公式记忆：准线方程 $x=\frac{a^2}{c}$ 极易与椭圆混淆（虽然形式相同，但 $c$ 的含义和数值范围不同），建议通过“准线在焦点和顶点之间”来辅助判断。
• 对称性简化：在解析几何中，利用图形关于坐标轴的对称性可以显著降低计算量并提高准确度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 18.02 双曲线专题全总结

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• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线