2017-江苏卷-10 填-基本不等式

本题导读

本题考查函数模型与应用，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 $x$ 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 $4x$ 万元.要使一年的总运费与总存储之和最小，则 $x$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 建立函数关系：

• 一年的购买次数 = $\frac{600}{x}$。
• 一年的总运费 = 次数 $\times$ 每次运费 = $\frac{600}{x}\times 6=\frac{3600}{x}$。
• 总费用 $y$ = 总运费 + 总存储费用 = $\frac{3600}{x}+4x$。

2. 利用基本不等式求最值：

• 目标函数形式为 $ax+\frac{b}{x}$，且 $x>0$，满足基本不等式的“正”与“定”。
• 根据 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$，当且仅当 $a=b$ 时，和取得最小值。

3. 确定 $x$ 的值：

• 解方程 $4x=\frac{3600}{x}$ 即可得到使总和最小时的 $x$。

✅【答案】

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30

✍【详细解析】

Abstract

解： 设一年的总费用为 $y$（万元）。 根据题意，一年的运费次数为 $\frac{600}{x}$ 次， 则一年的总运费为 $6\times \frac{600}{x}=\frac{3600}{x}$ 万元。 一年的总存储费用为 $4x$ 万元。 故总费用 $y=4x+\frac{3600}{x}$。 由于 $x>0$，由基本不等式得： $y=4x+\frac{3600}{x}\ge 2\sqrt{4x\cdot \frac{3600}{x}}=2\sqrt{14400}=2\times 120=240$ 当且仅当 $4x=\frac{3600}{x}$ 时，等号成立。 由 $4x^2=3600$ 得 $x^2=900$。 因为 $x>0$，所以 $x=30$。 即当每次购买 30 吨时，总费用最小。

故答案为：30。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 实际问题的转化：解决此类应用题的关键是将文字语言翻译成代数表达式。很多同学容易漏掉“次数”这一环节。
• 基本不等式三要素：
• 一正：$x>0$（本题吨数显然为正）。
• 二定：积为定值 $3600$。
• 三相等：必须验证等号能否取得（$x=30$ 在实际意义范围内）。
• 在填空题中，若看到 $x$ 与 $\frac{1}{x}$ 的结构，通常直接寻找两项相等的情况即可快速得出结论，而不必算出具体的最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2013-新课标II卷理-24 解-基本不等式
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式