2017-江苏卷-11 填-函数性质

本题导读

本题考查函数的单调性，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 已知函数 $f(x)=x^3-2x+e^x-\frac{1}{e^x}$，其中 $e$ 是自然对数的底数.若 $f(a-1)+f(2a^2)\le 0$，则实数 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析奇偶性：

• 观察 $f(x)$ 的组成：$x^3-2x$ 是奇函数；$e^x-e^{-x}$ 也是奇函数。
• 验证：$f(-x)=(-x{)}^3-2(-x)+e^{-x}-e^x=-x^3+2x-(e^x-e^{-x})=-f(x)$。
• 结论：$f(x)$ 是奇函数。

2. 分析单调性：

• 对 $f(x)$ 求导：$f^{\prime }(x)=3x^2-2+e^x+e^{-x}$。
• 利用基本不等式：$e^x+e^{-x}\ge 2\sqrt{e^x\cdot e^{-x}}=2$。
• 则 $f^{\prime }(x)=3x^2+(e^x+e^{-x}-2)\ge 3x^2+0\ge 0$。
• 结论：$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是单调递增函数。

3. 转化不等式：

• $f(a-1)+f(2a^2)\le 0\Rightarrow f(2a^2)\le -f(a-1)$。
• 利用奇偶性：$-f(a-1)=f[-(a-1)]=f(1-a)$。
• 利用单调性：$f(2a^2)\le f(1-a)\Rightarrow 2a^2\le 1-a$。

4. 求解：解一元二次不等式即可。

✅【答案】

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$[-1,\frac{1}{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：判定性质 由 $f(x)=x^3-2x+e^x-e^{-x}$ 得： $f(-x)=(-x{)}^3-2(-x)+e^{-x}-e^x=-x^3+2x-(e^x-e^{-x})=-f(x)$。 故 $f(x)$ 为奇函数。 又 $f^{\prime }(x)=3x^2-2+e^x+e^{-x}$， 由于 $e^x+e^{-x}\ge 2$，所以 $f^{\prime }(x)\ge 3x^2\ge 0$。 故 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

第二步：等价转化 由 $f(a-1)+f(2a^2)\le 0$ 得： $f(2a^2)\le -f(a-1)$ 因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $-f(a-1)=f(1-a)$。 即 $f(2a^2)\le f(1-a)$。 又因为 $f(x)$ 单调递增，所以有： $2a^2\le 1-a$

第三步：求解不等式 整理得：$2a^2+a-1\le 0$ 因式分解得：$(2a-1)(a+1)\le 0$ 解得：$-1\le a\le \frac{1}{2}$。

故答案为：$[-1,\frac{1}{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 隐藏性质的挖掘：江苏卷的这类题目通常不会直接告诉你函数具有对称性或单调性，需要学生通过观察结构（如 $x^3$ 与 $e^x-e^{-x}$ 的组合）主动去验证。
• 解题模板：处理 $f(g(x))+f(h(x))\le \text{常数}$ 时，若常数为 0 且函数为奇函数，必转化为 $f(g(x))\le f(-h(x))$，进而利用单调性脱去函数符号 “$f$”。
• 单调性的证明细节：本题中 $f^{\prime }(x)=3x^2-2+e^x+e^{-x}$ 并不总是严格大于 0（在 $x=0$ 时导数为 0），但根据单调性定义，这不影响其在整个实数集上的递增性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-04 单-函数性质
• 2015-新课标II卷文-12 单-函数性质
• 2019-江苏卷-14 填-函数性质