2017-江苏卷-19 解-数列综合

本题导读

本题考查数列的新定义问题。核心在于新定义理解法、等差中项法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 对于给定的正整数 $k$，若数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n-k}+a_{n-k+1}+\cdots +a_{n-1}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k-1}+a_{n+k}=2k{a}_n$ 对任意正整数 $n(n>k)$ 总成立，则称数列 $\{a_n\}$ 是“$P(k)$ 数列”.

(1)证明：等差数列 $\{a_n\}$ 是“$P(3)$ 数列”；

(2)若数列 $\{a_n\}$ 既是“$P(2)$ 数列”，又是“$P(3)$ 数列”，证明：$\{a_n\}$ 是等差数列.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（验证新定义）：

• 展开定义：对于 $k=3$，$P(3)$ 数列需满足 $a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=6a_n$。
• 利用性质：在等差数列中，下标和相等的两项之和相等，即 $a_{n-m}+a_{n+m}=2a_n$。通过配对求和即可快速证明。

2. 第二问（双重定义证明等差）：

• 列出方程： $P(2)$ 满足：$a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}=4a_n$ ① $P(3)$ 满足：$a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=6a_n$ ②
• 消元策略：将①代入②，消去中间四项，得到 $a_{n-3}+a_{n+3}=2a_n$ ③。
• 目标转化：要证 $\{a_n\}$ 是等差数列，核心是证 $a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$。通过对①进行下标平移（用 $n-1$ 和 $n+1$ 替换 $n$），结合③式构造新的恒等式进行消元。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

证明： (1)设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 对于任何正整数 $n>3$，根据等差数列性质有： $a_{n-3}+a_{n+3}=(a_n-3d)+(a_n+3d)=2a_n$； $a_{n-2}+a_{n+2}=(a_n-2d)+(a_n+2d)=2a_n$； $a_{n-1}+a_{n+1}=(a_n-d)+(a_n+d)=2a_n$。 将上述三式相加得： $a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=2a_n+2a_n+2a_n=6a_n$。 符合 $P(3)$ 数列的定义，故等差数列是“$P(3)$ 数列”。

[Image of arithmetic progression properties showing average of symmetric terms]

(2)由题意，对于任何 $n>3$，有： $a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}=4a_n$ (1) $a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=6a_n$ (2) 将 (1) 代入 (2) 得： $a_{n-3}+4a_n+a_{n+3}=6a_n\Rightarrow a_{n-3}+a_{n+3}=2a_n$ (3) 在 (1) 中，用 $n-1$ 替换 $n$ 得： $a_{n-3}+a_{n-2}+a_n+a_{n+1}=4a_{n-1}$ (4) 在 (1) 中，用 $n+1$ 替换 $n$ 得： $a_{n-1}+a_n+a_{n+2}+a_{n+3}=4a_{n+1}$ (5) (4) + (5) 得： $(a_{n-3}+a_{n+3})+(a_{n-2}+a_{n+2})+2a_n+(a_{n-1}+a_{n+1})=4(a_{n-1}+a_{n+1})$。 代入 (3) 式 $a_{n-3}+a_{n+3}=2a_n$： $2a_n+(a_{n-2}+a_{n+2})+2a_n+(a_{n-1}+a_{n+1})=4(a_{n-1}+a_{n+1})$。 整理得：$4a_n+(a_{n-2}+a_{n+2})=3(a_{n-1}+a_{n+1})$ (6) 由 (1) 式知 $a_{n-2}+a_{n+2}=4a_n-(a_{n-1}+a_{n+1})$，代入 (6) 式： $4a_n+4a_n-(a_{n-1}+a_{n+1})=3(a_{n-1}+a_{n+1})$。 $8a_n=4(a_{n-1}+a_{n+1})\Rightarrow a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$。 因为对任意正整数 $n>1$ 均成立，故数列 $\{a_n\}$ 是等差数列。

💡 【考点总结与回顾】

• 新定义的问题拆解：此类题往往给出一个复杂的数学模型，实际上 $k=1$ 时就是等差数列的最基本定义（等差中项）。理解定义的本质是破题的关键。
• 对称项思想：论证第一问时，利用“首尾配对”的对称思想可以极大地简化代数运算量。
• 在处理递推式论证时，下标平移（迭代构造） 是最常用的手段。第(2)问的精髓在于通过 $n-1$ 和 $n+1$ 的平移构造出了包含 $n-3$ 和 $n+3$ 的项，从而利用已知关系消去高阶项。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若数列既是 $P(k)$ 又是 $P(k+1)$ 数列，则它一定是等差数列。
• 方法推广:
  • 特征方程法：对于常系数线性递推数列，可以通过特征方程研究其通项特征，但在本题这种抽象定义中，代数变形更为直接。
• 相关知识点:
  • [Image of the definition of arithmetic mean in sequences]
  • 等差数列的判定定理：$a_{n+1}-a_n=d$ 或 $2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-23 解-数列综合
• 2015-福建卷文-17 解-数列综合
• 2020-江苏卷-20 解-数列综合