2017-江苏卷-21D 解-柯西不等式

本题导读

本题考查柯西不等式。核心在于柯西不等式法、三角换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 已知 $a,b,c,d$ 为实数，且 $a^2+b^2=4$，$c^2+d^2=16$，证明：$ac+bd\le 8$.

🔍【思路分析】

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1. 方法一：柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）

• 观察结构：待证式 $ac+bd$ 是两组对应数乘积之和；已知条件 $a^2+b^2$ 和 $c^2+d^2$ 是两组数的平方和。
• 直接套用：利用二维柯西不等式 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$ 快速建立联系。

2. 方法二：三角换元

• 建立模型：$a^2+b^2=4$ 可看作圆上的点，设 $a=2\cos \theta ,b=2\sin \theta$。
• 同理换元：$c^2+d^2=16$ 可设 $c=4\cos \varphi ,d=4\sin \varphi$。
• 化简计算：代入后利用两角差的余弦公式 $\cos (\theta -\varphi )$ 及其有界性证明。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解法一：利用柯西不等式 由柯西不等式 $(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\ge (a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2$ 可得： $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$。

因为 $a^2+b^2=4$，$c^2+d^2=16$， 代入上式得：$(ac+bd{)}^2\le 4\times 16=64$。 由此得：$-8\le ac+bd\le 8$。 所以 $ac+bd\le 8$ 得证。 （当且仅当 $ad=bc$ 且 $ac+bd\ge 0$ 时等号成立）。

解法二：利用三角换元法 因为 $a^2+b^2=4$，设 $a=2\cos \theta$，$b=2\sin \theta$ ($\theta \in [0,2\pi )$)。 因为 $c^2+d^2=16$，设 $c=4\cos \varphi$，$d=4\sin \varphi$ ($\varphi \in [0,2\pi )$)。 则 $ac+bd=(2\cos \theta )(4\cos \varphi )+(2\sin \theta )(4\sin \varphi )$ $=8(\cos \theta \cos \varphi +\sin \theta \sin \varphi )$ $=8\cos (\theta -\varphi )$。

因为对于任何实数 $\theta ,\varphi$，恒有 $\cos (\theta -\varphi )\le 1$， 所以 $8\cos (\theta -\varphi )\le 8$。 即 $ac+bd\le 8$ 得证。

💡 【考点总结与回顾】

• 结构识别：柯西不等式最明显的特征就是“平方和的乘积”与“乘积和的平方”之间的关系。当看到变量成对出现且涉及平方和时，优先考虑此法。
• 等号成立条件：在填空题或求最值题中，必须考虑等号是否能取到。对于柯西不等式，条件是对应项成比例（即向量平行）。
• 江苏卷的不等式证明题难度通常适中。三角换元法虽然步骤稍多，但在处理圆方程约束、消除二次项干扰时非常直观且稳妥。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若要求 $ac+bd$ 的最小值，根据有界性可知最小值为 $-8$。
• 方法推广:
  • 向量法：构造向量 $\vec{m}=(a,b),\vec{n}=(c,d)$，则 $ac+bd=\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}||\vec{n}|\cos \alpha$。

• 相关知识点:

  • 算术-几何平均不等式：也可以通过 $ac\le \frac{1}{2}(2a^2+\frac{1}{2}{c}^2)$ 等配系数法尝试，但不如上述方法简洁。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-13 填-柯西不等式
• 2013-湖南卷理-10 填-柯西不等式
• 2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式