2017-浙江卷-10 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量夹角与符号判定。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 如图，已知平面四边形 $ABCD$，$AB\perp BC$，$AB=BC=AD=2$，$CD=3$，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，记 $I_1=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$，$I_2=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$，$I_3=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}$，则 ()

A. $I_1<I_2<I_3$　　　　　　　　　　　　　　　B. $I_1<I_3<I_2$

C. $I_3<I_1<I_2$　　　　　　　　　　　　　　　D. $I_2<I_1<I_3$

🔍【思路分析】

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1. 分析夹角性质：在四边形中，对角线相交形成的对角相等。设 $\angle AOB=\angle COD=\theta$，则 $\angle BOC=\angle AOD=180^{\circ }-\theta$。

• $I_1=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|\cos \theta$
• $I_2=|\overrightarrow{OB}|\cdot |\overrightarrow{OC}|\cos (180^{\circ }-\theta )=-|\overrightarrow{OB}|\cdot |\overrightarrow{OC}|\cos \theta$
• $I_3=|\overrightarrow{OC}|\cdot |\overrightarrow{OD}|\cos \theta$

2. 判定 $\cos \theta$ 的正负：在 $△ABC$ 中，$AB=BC=2,\angle B=90^{\circ }$，则 $AC=2\sqrt{2}$。在 $△ADC$ 中，$AD=2,CD=3,AC=2\sqrt{2}$。由余弦定理计算 $\cos \angle ADC$，进而观察四边形形状。实验发现 $\theta$ 为钝角，即 $\cos \theta <0$。
3. 比较各项正负：

• 若 $\cos \theta <0$，则 $I_1<0,I_3<0$，而 $I_2=-|\dots |\cos \theta >0$。由此确定 $I_2$ 最大。

4. 比较 $I_1$ 与 $I_3$：两者均为负数，比较绝对值 $|I_1|$ 与 $|I_3|$。这转化为比较 $OA\cdot OB$ 与 $OC\cdot OD$ 的大小。根据 $CD>AB$ 且 $AD=AB$，通过几何构型可判定 $OC\cdot OD>OA\cdot OB$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算几何常量： 在等腰直角 $△ABC$ 中，$AB=BC=2⟹AC=2\sqrt{2}\approx 2.828$。 在 $△ADC$ 中，$AD=2,CD=3,AC=\sqrt{8}$。 $\cos \angle DAC=\frac{2^2+(2\sqrt{2}{)}^2-3^2}{2\times 2\times 2\sqrt{2}}=\frac{4+8-9}{8\sqrt{2}}=\frac{3}{8\sqrt{2}}>0$，故 $\angle DAC$ 为锐角。 由于 $\angle BAC=45^{\circ }$，四边形为凸四边形，对角线交于内部。

2. 确定夹角正负： 由 $AB=BC,AD=2,CD=3$ 可知，$D$ 点相对于 $AC$ 的位置比 $B$ 点更远（因为 $CD>BC$ 且 $AD=AB$）。 通过作图或解析计算可知 $\angle AOB$ 为钝角。 设 $\angle AOB=\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi )$，则 $\cos \theta <0$。

3. 数量积表达式： $I_1=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|\cos \theta <0$； $I_2=|\overrightarrow{OB}|\cdot |\overrightarrow{OC}|\cos (\pi -\theta )=-|\overrightarrow{OB}|\cdot |\overrightarrow{OC}|\cos \theta >0$； $I_3=|\overrightarrow{OC}|\cdot |\overrightarrow{OD}|\cos \theta <0$。 显然 $I_2$ 最大，排除 A、D。

4. 比较 $I_1$ 与 $I_3$： 因为 $CD>AB$ 且 $AD=AB=2$，点 $D$ 偏移导致 $OC>OA$ 且 $OD>OB$（$O$ 点更靠近 $A,B$）。 则 $|\overrightarrow{OC}|\cdot |\overrightarrow{OD}|>|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|$。 由于 $\cos \theta <0$，乘以一个较大的数会使结果更小（更负）。 所以 $I_3<I_1$。

综上所述：$I_3<I_1<I_2$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数量积的几何意义：$I=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。符号由 $\cos \theta$ 决定，数值由模的乘积决定。
• 技巧性比较：压轴选择题往往不需要算出精确数值。通过判定 $I_2>0$ 而 $I_1,I_3<0$，可以瞬间排除一半选项；再利用边长不等关系判定模的大小，即可得出最终顺序。
• 本题若建立坐标系计算会非常复杂，利用对顶角性质和“大边对大角/大投影”的几何直观是最高效的办法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：如果四边形 $ABCD$ 是矩形，这三个值的大小关系如何？

• 矩形对角线互相平分且相等，$OA=OB=OC=OD$，则 $I_1=I_3$。

2. 知识关联：本题考查了向量的工具性，将几何位置关系转化代数大小比较，体现了数形结合的深度应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-14 填-向量数量积
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2010-天津卷文-09 单-向量数量积