2017-浙江卷-12 填-复数

本题导读

本题考查复数的乘方运算，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 已知 $a,b\in \mathbb{R}$，$(a+bi{)}^2=3+4i$（$i$ 是虚数单位），则 $a^2+b^2=$ $\underline{}$，$ab=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开左式：利用复数的乘法运算法则（或完全平方公式）展开 $(a+bi{)}^2$。注意 $i^2=-1$。
2. 利用复数相等：根据复数相等的定义，左边的实部等于右边的实部，左边的虚部等于右边的虚部，从而列出关于 $a^2-b^2$ 和 $2ab$ 的方程组。
3. 求解目标值：

• 对于 $ab$，直接从虚部方程中得出。
• 对于 $a^2+b^2$，可以通过解方程组求出 $a^2$ 和 $b^2$ 后相加，也可以利用复数模的性质直接求解（更为巧妙）。

✅【答案】

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$5$；$2$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：方程组法（常规解法） 因为 $(a+bi{)}^2=a^2+2abi+(bi{)}^2=(a^2-b^2)+2abi$， 且已知 $(a+bi{)}^2=3+4i$， 根据复数相等的充要条件，得： $\{\begin{array}{ll}{a}^2-b^2=3& \text{(1)}\\ 2ab=4& \text{(2)}\end{array}$ 由 ② 得 $ab=2$。 将 ② 变形为 $b^2=\frac{4}{a^2}$ 代入 ① 得 $a^2-\frac{4}{a^2}=3$， 即 $(a^2{)}^2-3a^2-4=0$，解得 $a^2=4$ 或 $a^2=-1$（舍去）。 当 $a^2=4$ 时，$b^2=1$。 所以 $a^2+b^2=4+1=5$。

解法二：模长法（秒杀技巧） 根据复数模的性质：$|z^2|=|z{|}^2$。 已知 $(a+bi{)}^2=3+4i$， 则 $|(a+bi{)}^2|=|3+4i|$。 左边 $=|a+bi{|}^2=(\sqrt{a^2+b^2}{)}^2=a^2+b^2$。 右边 $=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$。 所以 $a^2+b^2=5$。 同时，展开式的虚部 $2ab=4⟹ab=2$。

故答案为：$5$；$2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 复数相等原则：$A+Bi=C+Di⟺A=C\text{ 且 }B=D$（其中 $A,B,C,D\in \mathbb{R}$）。
• 模的运算律：在处理复数的高次幂或乘积时，利用 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ 可以极大地简化关于平方和关系的计算。
• 填空题中看到 $a^2+b^2$ 且涉及复数时，要第一时间联想到复数的模。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目要求 $a+b$ 的可能值，则需要根据 $a^2=4,b^2=1$ 且 $ab=2$（同号）判定：

• 当 $a=2,b=1$ 时，$a+b=3$；
• 当 $a=-2,b=-1$ 时，$a+b=-3$。

2. 知识关联：复数的平方根计算（即已知 $z^2$ 求 $z$）是复数代数形式运算中的进阶要求，本题实质上是在求 $3+4i$ 的平方根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-02 单-复数
• 2014-湖南卷文-11 填-复数
• 2014-福建卷文-02 单-复数