2017-浙江卷-14 填-解三角形

本题导读

本题考查等腰三角形的性质，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 已知 $△ABC$，$AB=AC=4$，$BC=2$.点 $D$ 为 $AB$ 延长线上一点，$BD=2$，连结 $CD$，则 $△BDC$ 的面积是$\underline{}$，$\cos \angle BDC=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $△ABC$：这是一个等腰三角形，已知三边 $4,4,2$。可以利用余弦定理求出 $\cos \angle ABC$ 或 $\cos \angle BAC$。
2. 转换到 $△BDC$：点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上，因此 $\angle CBD$ 是 $\angle ABC$ 的补角，即 $\angle CBD=180^{\circ }-\angle ABC$。
3. 求面积：利用 $S_{△BDC}=\frac{1}{2}BC\cdot BD\sin \angle CBD$。

• 需要先求出 $\cos \angle ABC$，进而得到 $\sin \angle ABC$，由于互补角正弦值相等，$\sin \angle CBD=\sin \angle ABC$。

4. 求 $\cos \angle BDC$：在 $△BDC$ 中，已知 $BC=2,BD=2$ 及 $\angle CBD$。

• 先用余弦定理求出 $CD$。
• 再利用余弦定理或正弦定理求出 $\cos \angle BDC$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{15}}{2}$；$\frac{\sqrt{10}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算 $△ABC$ 的角度信息： 在 $△ABC$ 中，$AB=AC=4,BC=2$。 由余弦定理得：$\cos \angle ABC=\frac{4^2+2^2-4^2}{2\times 4\times 2}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。 则 $\sin \angle ABC=\sqrt{1-(\frac{1}{4}{)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

2. 计算 $△BDC$ 的面积： 因为 $D$ 在 $AB$ 延长线上，所以 $\angle CBD=180^{\circ }-\angle ABC$。 则 $\sin \angle CBD=\sin \angle ABC=\frac{\sqrt{15}}{4}$。 $S_{△BDC}=\frac{1}{2}BC\cdot BD\sin \angle CBD=\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{2}$。

3. 计算 $\cos \angle BDC$： 在 $△BDC$ 中，$\cos \angle CBD=-\cos \angle ABC=-\frac{1}{4}$。 由余弦定理得： $C{D}^2=B{C}^2+B{D}^2-2BC\cdot BD\cos \angle CBD$ $C{D}^2=2^2+2^2-2\times 2\times 2\times (-\frac{1}{4})=4+4+2=10$。 则 $CD=\sqrt{10}$。 再由余弦定理求 $\cos \angle BDC$： $\cos \angle BDC=\frac{B{D}^2+C{D}^2-B{C}^2}{2BD\cdot CD}=\frac{2^2+10-2^2}{2\times 2\times \sqrt{10}}=\frac{10}{4\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$。

故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{2}$；$\frac{\sqrt{10}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 互补角关系：在处理延长线构成的三角形时，$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta$ 且 $\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$ 是极其高频的切入点。
• 等腰三角形简化计算：对于 $AB=AC$ 的三角形，也可以过 $A$ 作 $BC$ 的垂线，利用直角三角形三角函数直接求出 $\cos B=\frac{1/2BC}{AB}=\frac{1}{4}$。
• 本题两问环环相扣，第一问的 $\sin$ 值是面积的基础，第二问的 $\cos$ 值需要先求出第三边 $CD$。计算根号时需细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若 $D$ 是 $AB$ 的中点（即 $D$ 在线段 $AB$ 上），$△BDC$ 的面积会有变化吗？

• 面积依然是 $\frac{\sqrt{15}}{2}$。因为 $△ABC$ 与 $△BDC$ 在底边 $AB$ 及其延长线上，且共用顶点 $C$ 到 $AB$ 所在直线的距离（高），底边长度相同则面积相等。

2. 知识关联：本题是余弦定理在多三角形嵌套题目中的典型应用，考查了基本公式的熟练程度和几何位置关系的转换。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形