2017-浙江卷-18 解-三角综合

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于三角化简法、整体代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 已知函数 $f(x)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x$ ($x\in \mathbb{R}$).

(1)求 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ 的值；

(2)求 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问求值：可以直接将 $x=\frac{2\pi }{3}$ 代入原式，利用特殊角的三角函数值进行计算。
2. 化简函数解析式：利用二倍角公式 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ 和 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 对原式进行降次扩角，再利用辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$ 统一成一个三角函数。
3. 求周期：利用公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。
4. 求单调区间：利用正弦函数的单调性。注意 $A$ 的正负，若 $A<0$，单调递增区间对应正弦原函数的单调递减区间。

✅【答案】

点击查看答案

（1）由二倍角公式，𝑓(𝑥)=−cos2𝑥−√3sin2𝑥=2sin(−2𝑥−π6)，所以𝑓(2π3)=2sin(−3π

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)将 $x=\frac{2\pi }{3}$ 代入 $f(x)$ 得： $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)={\sin }^2\frac{2\pi }{3}-{\cos }^2\frac{2\pi }{3}-2\sqrt{3}\sin \frac{2\pi }{3}\cos \frac{2\pi }{3}$ 因为 $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$， 所以 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ $=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$。

(2)首先化简 $f(x)$： $f(x)=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)-\sqrt{3}(2\sin x\cos x)$ $=-\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x$ $=-2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)$ $=-2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。

1. 求最小正周期： 因为 $\omega =2$，所以 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。 故 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$。

2. 求单调递增区间： 要求 $f(x)=-2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的单调递增区间， 等价于求 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的单调递减区间。 令 $\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x+\frac{\pi }{6}\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 两边同时减去 $\frac{\pi }{6}$： $\frac{\pi }{3}+2k\pi \le 2x\le \frac{4\pi }{3}+2k\pi$。 两边同时除以 $2$： $\frac{\pi }{6}+k\pi \le x\le \frac{2\pi }{3}+k\pi$。 所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{2\pi }{3}+k\pi \right]$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 辅助角公式的方向：化简时要注意 $A$ 的正负号。如果提取负号，如本题的 $-2\sin (\dots )$，在求单调区间时，增减性会反向。
• 基本公式熟练度：${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$ 是易错点，很多学生会记反符号，导致第一步化简失败。
• 三角解答题作为高考大题的第一题，务必保证化简过程的准确性，一旦解析式化错，后面全部失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目要求 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的最值？

• 根据化简后的 $f(x)=-2\sin (2x+\frac{\pi }{6})$，当 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时，$2x+\frac{\pi }{6}\in [\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}]$，结合正弦曲线图象即可得到最值为 $f(0)=-1$ 和 $f(\frac{\pi }{6})=-2$。

2. 知识关联：本题体现了数学中的“化归”思想，将二次式转化为一次式，将多项名转化为单项名。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2020-浙江卷-18 解-三角综合
• 2021-浙江卷-18 解-三角综合
• 1977-山东B-02 解-对数与三角综合