2018-上海卷-19 解-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的解析式构造。核心在于数学建模法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地职业族 $S$ 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 $S$ 中 $x\%$ ($0<x<100$) 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

$f(x)=\{\begin{array}{ll}30,& 0<x\le 30\\ 2x+\frac{1800}{x}-90,& 30<x<100\end{array}$

（单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受 $x$ 影响，恒为 $40$ 分钟.试根据上述分析结果回答下列问题：

(1) 当 $x$ 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2) 求该地职业族 $S$ 的人均通勤时间 $g(x)$ 的表达式；讨论 $g(x)$ 的单调性，并说明其实际意义.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（不等式比较）：

   • 建立不等式：题目要求公交时间 ($40$) $<$ 自驾时间 ($f(x)$)，即解不等式 $f(x)>40$。

   • 分段讨论：在 $0<x\le 30$ 时，$30<40$ 恒成立，不符合；在 $30<x<100$ 时，解一元二次不等式。

2. 第二问（加权平均与单调性）：

   • 构造 $g(x)$：全群体的人均时间是两个群体的加权平均。自驾占 $x\%$，公交占 $(1-x\%)$。

     $g(x)=f(x)\cdot x\%+40\cdot (1-x\%)$。

   • 求解析式：根据 $f(x)$ 的分段情况，分别计算出 $g(x)$ 的表达式。

   • 分析单调性：第一段是线性减函数；第二段是二次函数，通过对称轴判断单调区间。

   • 实际意义：单调减表示通勤效率提升，单调增表示拥堵加剧，极值点表示最优通勤配比。

✅【答案】

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(1) $45<x<100$

(2) $g(x)=\{\begin{array}{ll}40-\frac{x}{10},& 0<x\le 30\\ \frac{x^2}{50}-\frac{13x}{10}+58,& 30<x<100\end{array}$，在 $(0,32.5)$ 上单调递减，在 $(32.5,100)$ 上单调递增

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

由题意，需满足 $f(x)>40$。

① 当 $0<x\le 30$ 时，$f(x)=30<40$，不符合题意；

② 当 $30<x<100$ 时，令 $2x+\frac{1800}{x}-90>40$，

即 $2x+\frac{1800}{x}-130>0$，由于 $x>30>0$，两边同乘 $x$ 得：

$2x^2-130x+1800>0⟹x^2-65x+900>0$。

解方程 $x^2-65x+900=0$，得 $(x-20)(x-45)=0$，解得 $x_1=20,x_2=45$。

所以 $x^2-65x+900>0$ 的解为 $x<20$ 或 $x>45$。

结合范围 $30<x<100$，得 $45<x<100$。

综上，当 $x\in (45,100)$ 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间。

(2)解：

由加权平均定义，$g(x)=f(x)\cdot \frac{x}{100}+40\cdot (1-\frac{x}{100})$。

① 当 $0<x\le 30$ 时：

$g(x)=30\cdot \frac{x}{100}+40-\frac{40x}{100}=40-\frac{x}{10}$；

② 当 $30<x<100$ 时：

$g(x)=(2x+\frac{1800}{x}-90)\cdot \frac{x}{100}+40-\frac{40x}{100}$

$g(x)=\frac{2x^2+1800-90x}{100}+40-\frac{40x}{100}=\frac{x^2}{50}-\frac{9x}{10}+18+40-\frac{4x}{10}$

$g(x)=\frac{x^2}{50}-\frac{13x}{10}+58$。

故 $g(x)=\{\begin{array}{ll}40-\frac{x}{10},& 0<x\le 30\\ \frac{x^2}{50}-\frac{13x}{10}+58,& 30<x<100\end{array}$。

单调性讨论：

• 在 $(0,30]$ 上，$g(x)$ 是斜率为 $-\frac{1}{10}$ 的线段，显然单调递减；

• 在 $(30,100)$ 上，二次函数 $g(x)$ 的对称轴为 $x=-\frac{-1.3}{2\times \frac{1}{50}}=\frac{1.3}{0.04}=32.5$。

  由此可知：在 $(30,32.5]$ 上，$g(x)$ 单调递减；在 $[32.5,100)$ 上，$g(x)$ 单调递增。

  综上：$g(x)$ 在 $(0,32.5]$ 上单调递减，在 $[32.5,100)$ 上单调递增。

实际意义：

当该地职业族 $S$ 中自驾人数比例小于 $32.5\%$ 时，全群体人均通勤时间随自驾人数增加而减少；

当自驾人数比例大于 $32.5\%$ 时，全群体人均通勤时间随自驾人数增加而增加；

当自驾人数占比为 $32.5\%$ 时，该地区全群体人均通勤时间最短。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分段函数的连续性：在 $x=30$ 处，左段 $g(30)=37$，右段 $g(30)=\frac{900}{50}-39+58=18-39+58=37$。函数是连续的，这保证了单调性区间合并的合理性。

2. 建模细节：$x$ 已经是百分数中的数值，所以在代入平均数公式时要除以 100。这是此类应用题最容易产生数量级错误的地方。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记下这类“拥堵模型”的特点：

• 边际效应：当资源（道路）承载能力尚足时，增加使用人数（自驾）可能分流压力；

• 拐点（最值点）：通过导数或二次函数对称轴确定的极值点，通常代表了社会资源的“最优配比”方案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-09
• 2008-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2008-江苏卷-20 解-绝对值分段函数