2018-上海卷-21 解-数列新定义

本题导读

本题考查数列的新定义。核心在于新定义法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）给定无穷数列 ${a_{n}}$ ，若无穷数列 ${b_{n}}$ 满足：对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $∣ b_{n} - a_{n} ∣ \leq 1$ ，则称 ${b_{n}}$ 与 ${a_{n}}$ “接近”.

(1) 设 ${a_{n}}$ 是首项为 1，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $b_{n} = a_{n + 1} + 1$ ( $n \in N^{*}$ )，判断数列 ${b_{n}}$ 是否与 ${a_{n}}$ 接近，并说明理由；

(2) 设数列 ${a_{n}}$ 的前四项为： $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 4, a_{4} = 8$ . ${b_{n}}$ 是一个与 ${a_{n}}$ 接近的数列，记集合 $M = {x ∣ x = b_{i}, i = 1, 2, 3, 4}$ ，求 $M$ 中元素的个数 $m$ 的可能取值；

(3) 已知 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列.若存在数列 ${b_{n}}$ 满足： ${b_{n}}$ 与 ${a_{n}}$ 接近，且在 $b_{2} - b_{1}, b_{3} - b_{2}, \dots, b_{201} - b_{200}$ 中至少有 100 个为正数，求 $d$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问（定义校验）：

直接写出 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 的通项，计算 $∣ b_{n} - a_{n} ∣$ 并考察其是否恒 $\leq 1$ 。

第二问（互异性计数）：

根据定义写出每个 $b_{i}$ 的范围： $b_{i} \in [a_{i} - 1, a_{i} + 1]$ 。

分析相邻两个区间是否有交集。若有交集，则可能存在相同的项（元素合并）；若无交集，则项必不相同。

第三问（存在性构造）：

目标是构造 ${b_{n}}$ 使得差值 $Δ b_{n} > 0$ 的个数达标。

分类讨论 $d$ ：

$d \geq 0$ 时，数列趋向递增，构造 $b_{n} = a_{n}$ 显然可行。

$d < 0$ 时，数列趋向递减。我们需要在 $∣ b_{n} - a_{n} ∣ \leq 1$ 的“波动范围”内尽量制造上升段。

极限构造：利用波动范围的最大跨度 $2$ （即从 $a_{n} - 1$ 跳到 $a_{n + 1} + 1$ ），分析上升的门槛条件 $2 + d > 0$ 。

✅【答案】

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(1) ${b_{n}}$ 与 ${a_{n}}$ 接近

(2) $m = 3$ 或 $m = 4$

(3) $d > - 2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：判断结果：数列 ${b_{n}}$ 与 ${a_{n}}$ 接近。

理由如下：

由题意得 $a_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}$ ，则 $b_{n} = a_{n + 1} + 1 = (\frac{1}{2})^{n} + 1$ 。

所以 $∣ b_{n} - a_{n} ∣ = ∣ (\frac{1}{2})^{n} + 1 - (\frac{1}{2})^{n - 1} ∣ = ∣1 - (\frac{1}{2})^{n} ∣$ 。

因为 $n \in N^{*}$ ，所以 $0 < (\frac{1}{2})^{n} \leq \frac{1}{2}$ ，从而 $0.5 \leq 1 - (\frac{1}{2})^{n} < 1$ 。

恒有 $∣ b_{n} - a_{n} ∣ < 1$ 成立。

故数列 ${b_{n}}$ 与 ${a_{n}}$ 接近。

(2)解：

由定义知 $b_{i} \in [a_{i} - 1, a_{i} + 1]$ ，代入 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 得：

$b_{1} \in [0, 2], b_{2} \in [1, 3], b_{3} \in [3, 5], b_{4} \in [7, 9]$ 。

$b_{1}$ 与 $b_{2}$ 的区间 $[0, 2]$ 与 $[1, 3]$ 有重叠，可能 $b_{1} = b_{2} = 1.5$ ；

$b_{2}$ 与 $b_{3}$ 的区间 $[1, 3]$ 与 $[3, 5]$ 只有一个交点 3，可能 $b_{2} = b_{3} = 3$ ；

$b_{3}$ 与 $b_{4}$ 的区间 $[3, 5]$ 与 $[7, 9]$ 无重叠，必有 $b_{3} \neq = b_{4}$ ；

$b_{1}$ 与 $b_{3}$ 区间虽在 2 和 3 处断开，但可能相等吗？ $b_{1} \leq 2, b_{3} \geq 3$ ，必不相等。

结论：最多 4 个元素；若 $b_{1} = b_{2}$ 且 $b_{2} = b_{3}$ 不可能（因为 $b_{1} \leq 2$ 而 $b_{3} \geq 3$ ）。

但可以 $b_{1} = b_{2}$ （剩下 3 个）或 $b_{2} = b_{3}$ （剩下 3 个）。

所以 $m$ 的可能取值为 $3$ 或 $4$ 。

(3)解：

${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{n + 1} - a_{n} = d$ 。

① 若 $d > 0$ ，令 $b_{n} = a_{n}$ ，则 $b_{n + 1} - b_{n} = d > 0$ ，200 个差值均为正，符合“至少 100 个”。

② 若 $d = 0$ ，令 $b_{n} = a_{1} - \frac{1}{n}$ ，则 $∣ b_{n} - a_{n} ∣ = \frac{1}{n} \leq 1$ 且 $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} > 0$ ，符合题意。

③ 若 $- 2 < d < 0$ ：

构造数列：让奇数项取下限，偶数项取上限。

令 $b_{2 n - 1} = a_{2 n - 1} - 1$ ， $b_{2 n} = a_{2 n} + 1$ 。

则 $b_{2 n} - b_{2 n - 1} = (a_{2 n} + 1) - (a_{2 n - 1} - 1) = d + 2$ 。

因为 $d > - 2$ ，所以 $d + 2 > 0$ 。

在 $b_{2} - b_{1}, b_{3} - b_{2}, \dots, b_{201} - b_{200}$ 这 200 个差值中，所有形如 $b_{2 n} - b_{2 n - 1}$ 的项（共 100 项）均为正数。符合题意。

④ 若 $d \leq - 2$ ：

对于任意满足接近条件的 $b_{n}$ ，有 $b_{n + 1} - b_{n} = (b_{n + 1} - a_{n + 1}) - (b_{n} - a_{n}) + (a_{n + 1} - a_{n})$ 。

$b_{n + 1} - b_{n} \leq 1 - (- 1) + d = 2 + d$ 。

若 $d \leq - 2$ ，则 $2 + d \leq 0$ ，即 $b_{n + 1} - b_{n} \leq 0$ 。

此时不存在任何一个差值为正数，不符合题意。

综上所述， $d$ 的取值范围是 $(- 2, + \infty)$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

构造法的力量：压轴题第三问通常不要求你找出所有的 ${b_{n}}$ ，只要能“构造”出一个符合条件的特例，就能证明 $d$ 的存在性。

极值分析： $∣ b_{n} - a_{n} ∣ \leq 1$ 意味着 $b_{n}$ 在 $a_{n}$ 上下 1 个单位的带状区域内波动。即便 $a_{n}$ 在剧烈下降（ $d$ 为负），只要波动的“跨度”（最大为 2）能覆盖掉下降的幅度，就能制造出上升段。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结“新定义数列”的解题三板斧：

第一问：套定义。哪怕后面完全没思路，第一问的代入计算是必拿的分数。

第二问：找限制。研究定义带来的不等式约束，通常涉及集合、最值或项的范围。

第三问：找极端/分类讨论。压轴问通常考查逻辑的完备性，分类讨论 $d > 0, d = 0, d < 0$ 是标准动作。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.07 一般数列的性质

03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

2013-北京卷文-20 解-数列新定义

2008-江苏卷-19 解-数列删项等比

2010-山东卷文-07 单-等比数列单调性充要

∑ ( Math )

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