2018-全国卷I文-17 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的定义与判定。核心在于构造法、叠乘法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$, $n{a}_{n+1}=2(n+1)a_n$, 设 $b_n=\frac{a_n}{n}$.

(1) 求 $b_1,b_2,b_3$;

(2) 判断数列 $\{b_n\}$ 是否为等比数列，并说明理由；

(3) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

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1. 根据 $b_n$ 的定义及首项直接计算 $b_1,b_2,b_3$.
2. 将递推关系式转化为 $b_{n+1}$ 与 $b_n$ 的关系式，利用等比数列定义证明.
3. 利用等比数列通项公式求出 $b_n$，进而求出 $a_n$.

✅【答案】

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(1) $b_1=1$，$b_2=2$，$b_3=4$

(2) 是等比数列，首项 $1$，公比 $2$

(3) $a_n=n\cdot 2^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $a_1=1$ 及 $b_n=\frac{a_n}{n}$ 得： $b_1=\frac{a_1}{1}=\frac{1}{1}=1$. 当 $n=1$ 时，$1\cdot a_2=2(1+1)a_1⟹a_2=4$，故 $b_2=\frac{a_2}{2}=\frac{4}{2}=2$. 当 $n=2$ 时，$2\cdot a_3=2(2+1)a_2⟹2a_3=6\times 4=24⟹a_3=12$，故 $b_3=\frac{a_3}{3}=\frac{12}{3}=4$.

(2) 数列 $\{b_n\}$ 是以 $1$ 为首项，公比为 $2$ 的等比数列. 理由如下： 由 $n{a}_{n+1}=2(n+1)a_n$ 可得： $\frac{a_{n+1}}{n+1}=2\cdot \frac{a_n}{n}$ 即 $b_{n+1}=2b_n$. 又因为 $b_1=1\ne 0$，所以数列 $\{b_n\}$ 是以 $1$ 为首项，公比为 $2$ 的等比数列.

(3) 由(2)知 $b_n=b_1\cdot 2^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$. 因为 $b_n=\frac{a_n}{n}$， 所以 $a_n=n{b}_n=n\cdot 2^{n-1}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列的定义、递推关系化简、通项公式求法.
2. 核心方法：构造新数列法（待定系数法/商式变形法）.
3. 避坑指南：证明等比数列时必须明确指出首项不为零且公比为非零常数.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列板块中常见的递推关系转化题型.
2. 结论推广: 形如 $f(n+1)a_{n+1}=g(n)a_n$ 的递推式通常通过两边同除以特定表达式化为等比或等差数列.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式