2018-全国卷I文-18 解-面面垂直

本题导读

本题考查平面与平面垂直的判定。核心在于空间向量坐标法、综合几何法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）如图，在平行四边形 $ABCM$ 中，$AB=AC=3$, $\angle ACM=90^{\circ }$, 以 $AC$ 为折痕将 $△ACM$ 折起，使点 $M$ 到达点 $D$ 的位置，且 $AB\perp DA$.

(1) 证明：平面 $ACD\perp$ 平面 $ABC$;

(2) $Q$ 为线段 $AD$ 上一点，$P$ 为线段 $BC$ 上一点，且 $BP=DQ=\frac{2}{3}DA$, 求三棱锥 $Q-ABP$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 利用面面垂直的判定定理：先证 $AB$ 垂直于平面 $ACD$ 内的两条相交直线，从而得到线面垂直，进而证出面面垂直.
2. 建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用锥体体积公式计算 $V_{Q-ABP}=V_{P-ABQ}$.

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $V=\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：在平行四边形 $ABCM$ 中，$\angle ACM=90^{\circ }$，且 $AB=AC=3$， 折起后在 $△ACD$ 中，$AC=3$, $CD=3$, $\angle ACD=90^{\circ }$，故 $AD=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$. 又因为 $AB\perp DA$，且在 $△ABC$ 中，$AB=AC=3$, $BC=AM=3\sqrt{2}$ 满足 $A{B}^2+A{C}^2=3^2+3^2=18=B{C}^2$， 所以 $AB\perp AC$. 因为 $DA\cap AC=A$，且 $DA,AC\subset$ 平面 $ACD$， 所以 $AB\perp$ 平面 $ACD$. 又因为 $AB\subset$ 平面 $ABC$， 所以平面 $ACD\perp$ 平面 $ABC$.

(2) 以 $A$ 为坐标原点，分别以 $AB,AC,AD$ 所在直线（或空间正交方向）建立空间直角坐标系： 由 $AB\perp AC$ 且 $AB\perp AD$，可设 $A(0,0,0)$， $B(3,0,0)$， $C(0,3,0)$， $D(0,0,3\sqrt{2})$. 直线 $BC$ 经过 $B(3,0,0)$ 和 $C(0,3,0)$，向量 $\overrightarrow{BC}=(-3,3,0)$. 因为 $BP=\frac{2}{3}DA=\frac{2}{3}\times 3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，而 $BC=3\sqrt{2}$， 所以 $\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$， 故点 $P=B+\overrightarrow{BP}=(3,0,0)+(-2,2,0)=(1,2,0)$. 同理，点 $Q$ 在线段 $AD$ 上，且 $DQ=\frac{2}{3}DA$， 所以 $\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=(0,0,\sqrt{2})$， 故点 $Q=(0,0,\sqrt{2})$. 在三棱锥 $Q-ABP$ 中，底面 $△ABP$ 在 $xy$ 平面上，其顶点坐标分别为 $A(0,0,0)$, $B(3,0,0)$, $P(1,2,0)$. 底面 $△ABP$ 的面积为： $S_{△ABP}=\frac{1}{2}\times |AB|\times y_P=\frac{1}{2}\times 3\times 2=3$ 点 $Q$ 到平面 $ABP$（即 $xy$ 平面）的高为 $h=z_Q=\sqrt{2}$. 因此，三棱锥 $Q-ABP$ 的体积为： $V_{Q-ABP}=\frac{1}{3}{S}_{△ABP}\cdot h=\frac{1}{3}\times 3\times \sqrt{2}=\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直判定定理、空间向量坐标运算、锥体体积公式.
2. 核心方法：空间直角坐标系法（向量法）.
3. 避坑指南：建系时要确保坐标轴相互垂直，点坐标的代入与向量比例计算要严谨准确.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题常规题型.
2. 结论推广: 不规则三棱锥体积求解常通过转换顶点（等体积法）转化为以坐标平面为底的锥体计算.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 全国卷I文-18 解-面面垂直
• 全国卷III文-19 解-线线垂直
• 2021-乙卷文-18 解-立几综合