2018-全国卷I文-22 解-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程向直角坐标方程的转化。核心在于数形结合法、代数运算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的方程为 $y=k|x|+2$.以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 ${\rho }^2+2\rho \cos \theta -3=0$.

(1) 求 $C_2$ 的直角坐标方程；

(2) 若 $C_1$ 与 $C_2$ 有且仅有三个公共点，求 $C_1$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（方程转化）：

• 利用极坐标转化公式：${\rho }^2=x^2+y^2$，$\rho \cos \theta =x$。
• 代入并整理成圆的标准方程。

2. 第二问（交点个数判定）：

• 分析 $C_1$：$y=k|x|+2$ 是过点 $B(0,2)$，关于 $y$ 轴对称的两条射线。
• 分析 $C_2$：是一个圆心在 $(-1,0)$，半径为 2 的圆。
• 数形结合：圆心 $A(-1,0)$ 在 $y$ 轴左侧。要使对称的“V”形射线与圆有三个交点，通常情况是一侧射线与圆相切（1个交点），另一侧与圆相交（2个交点）。
• 计算：利用点到直线的距离 $d=r$ 求解斜率 $k$，并结合图形进行检验。

✅【答案】

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(1) $(x+1{)}^2+y^2=4$

(2) $y=-\frac{4}{3}|x|+2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由 ${\rho }^2=x^2+y^2$，$\rho \cos \theta =x$ 代入 ${\rho }^2+2\rho \cos \theta -3=0$ 得： $x^2+y^2+2x-3=0$ 配方得：$(x+1{)}^2+y^2=4$。 所以 $C_2$ 的直角坐标方程为 $(x+1{)}^2+y^2=4$。

(2)解： 由(1)知 $C_2$ 是以 $A(-1,0)$ 为圆心，半径 $r=2$ 的圆。 曲线 $C_1:y=k|x|+2$ 是以 $B(0,2)$ 为顶点，关于 $y$ 轴对称的两条射线。 设右侧射线 $l_1:y=kx+2(x\ge 0)$，左侧射线 $l_2:y=-kx+2(x<0)$。 因为点 $B(0,2)$ 在圆 $C_2$ 上（代入 $(0+1{)}^2+2^2=5>4$ 知其在圆外），且圆心 $A$ 在 $y$ 轴左侧。

若 $C_1$ 与 $C_2$ 有且仅有三个公共点，则必有一条射线与圆相切，另一条与圆有两个交点。

1. 当 $l_1$ 与圆 $C_2$ 相切时： 直线 $kx-y+2=0$ 到圆心 $A(-1,0)$ 的距离 $d=\frac{|k(-1)-0+2|}{\sqrt{k^2+1}}=2$。 整理得：$|2-k|=2\sqrt{k^2+1}⟹(2-k{)}^2=4(k^2+1)$ $4-4k+k^2=4k^2+4⟹3k^2+4k=0$。 解得 $k=0$ 或 $k=-\frac{4}{3}$。

• 若 $k=0$，则 $C_1$ 为直线 $y=2$，与圆 $C_2$ 只有两个交点（不符）。

• 若 $k=-\frac{4}{3}$，此时 $l_1$ 为 $y=-\frac{4}{3}x+2(x\ge 0)$。由图形可知 $l_1$ 与圆相切于点 $B$ 以外的一点； 此时 $l_2$ 为 $y=\frac{4}{3}x+2(x<0)$。由于圆心在左侧，这条向左上方延伸的射线与圆有两个交点（含点 $B$）。 总计交点数为 $1+2=3$，符合题意。

2. 当 $l_2$ 与圆 $C_2$ 相切时： 同理可得 $k=0$ 或 $k=\frac{4}{3}$。

• 若 $k=\frac{4}{3}$，此时 $l_2$ 与圆相切，但 $l_1$ 向右上方延伸，与圆心在左侧的圆无交点（除 $B$ 外）。 经检验不满足三个交点。

综上所述，$k=-\frac{4}{3}$。 所求 $C_1$ 的方程为 $y=-\frac{4}{3}|x|+2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 数形结合的威力：这种题目如果纯代数联立，判别式 $\Delta$ 会非常复杂。画出圆和“V”形线，快速就能看出切点的大致方位。
2. 绝对值的几何意义：$y=k|x|+b$ 本质上是两条射线。在算距离时，要分清哪条对应 $k$，哪条对应 $-k$。
3. 临界状态检验：计算出 $k$ 后，务必代回图形或方程检查另一个分支的交点情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个公式：

• 两点距离：$d^2={\rho }_1^2+{\rho }_2^2-2{\rho }_1{\rho }_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)$。
• 转化关系：${\rho }^2=x^2+y^2$；$x=\rho \cos \theta$；$y=\rho \sin \theta$。掌握这三行，极坐标题目就拿下一半。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷理-19 解-椭圆方程与性质
• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2014-福建卷理-09 单-圆的标准方程与一般方程