2018-全国卷I理-05 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性定义与性质，以及导数的运算与几何意义。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）设函数 $f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax$.若 $f(x)$ 为奇函数，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为()

A. $y=-2x$　　　　B. $y=-x$　　　　C. $y=2x$　　　　D. $y=x$

🔍【思路分析】

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1. 确定参数 $a$：

• 方法一（性质法）：多项式函数 $f(x)$ 为奇函数 $⟺$ 所有的偶次项系数均为 0。本题中偶次项为 $(a-1)x^2$，故 $a-1=0$。
• 方法二（定义法）：利用 $f(-x)=-f(x)$，对任意 $x$ 恒成立，代入对比系数。

2. 求导确定斜率：

• 得到 $f(x)$ 的解析式后，求出导函数 $f^{\prime }(x)$。
• 计算 $k=f^{\prime }(0)$，即为切线在原点处的斜率。

3. 写出方程：利用点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$，代入点 $(0,0)$ 即可。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 第一步：确定解析式 因为 $f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax$ 是奇函数， 根据奇函数定义可知，其不含有偶次项（$x^2$ 项及常数项）， 所以 $a-1=0⟹a=1$。 则函数解析式为：$f(x)=x^3+x$。

第二步：求导计算斜率 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2+1$ 在点 $(0,0)$ 处的切线斜率 $k$ 为： $k=f^{\prime }(0)=3(0{)}^2+1=1$

第三步：求切线方程 由于切线经过原点 $(0,0)$，斜率为 $1$， 根据直线方程的点斜式： $y-0=1\cdot (x-0)⟹y=x$

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 多项式函数的奇偶性规律：

• 奇函数：只含有 $x,x^3,x^5\dots$ 等奇次项（常数项必须为 0）。
• 偶函数：只含有 $x^0(\text{常数}),x^2,x^4\dots$ 等偶次项。 这一结论在填空选择题中是提速神器。

2. 切线三要素：切点坐标 $(x_0,y_0)$、切点处的导数值 $k=f^{\prime }(x_0)$、切线方程。本题切点已给出，只需关注导数。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结切线问题的三种常见考法：

• 已知切点：如本题，直接求导代入。
• 已知斜率 $k$：先解 $f^{\prime }(x)=k$ 求出切点。
• 过曲线外一点：最难的一种，需设切点为 $(x_1,f(x_1))$，利用斜率公式与导数定义建立方程组。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-10 单-归纳推理导数奇偶
• 2010-江西卷文-04 单-导数运算与奇偶性
• 1977-黑龙江卷-04(2)