2010-江西卷文-04 单-导数运算与奇偶性

本题导读

考查导数与奇偶性。$f^{\prime }(x)=4a{x}^3+2bx$ 为奇函数，$f^{\prime }(-1)=-f^{\prime }(1)=-2$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 若函数 $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ 满足 $f^{\prime }(1)=2$，则 $f^{\prime }(-1)$ 等于()

A. $-1$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+2bx$。
2. 每一项都是 $x$ 的奇次幂，故 $f^{\prime }(x)$ 是奇函数。
3. $f^{\prime }(-1)=-f^{\prime }(1)=-2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

对 $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ 求导，得 $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+2bx.$ 其每一项都是 $x$ 的奇次幂，故 $f^{\prime }(x)$ 是奇函数，于是 $f^{\prime }(-1)=-f^{\prime }(1)=-2.$ 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：求导与奇函数性质

核心方法：$f^{\prime }(x)=4a{x}^3+2bx$ 各项都是奇次幂，故导函数为奇函数

避坑指南：偶函数的导数是奇函数，这条”求导降奇偶”的对应关系别记反；$c$ 求导后消失，与结果无关，别被 $c$ 干扰。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：可导函数的奇偶性与其导函数的奇偶性互锁：奇 $\to$ 偶，偶 $\to$ 奇。

结论推广：$f^{\prime }(-x_0)=-f^{\prime }(x_0)$（偶函数情形）可直接代值，免去设参数求 $a$，$b$。

方法推广：凡见 $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ 型，先想导函数奇偶性，再想待定系数，前者快得多。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性
• 2011-广东卷文-12 填-奇偶求值
• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称