本题导读
本题考查双曲线的标准方程与渐近线，以及直线与直线的交点坐标。
📌【题干】
Question
（2018年全国卷I理）已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 .若 为直角三角形，则 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 确定双曲线基本量：
- 。右焦点 。
- 渐近线方程：。
- 分析直角三角形 ：
- 渐近线关于 轴对称，其倾斜角分别为 和 。
- 因为两条渐近线交于原点 ，且夹角为 或 ，所以直角 不可能成立。
- 因此，直角必在 或 处。
- 确定直线 的斜率：
- 若 ，则直线 的斜率 与其中一条渐近线斜率乘积为 。
- 。
- 求交点与距离：
- 设直线 。
- 分别与 和 联立，求出 坐标。
- 利用两点间距离公式 。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
【答案】 B
【解析过程】
求渐近线与焦点： 由 得 。 焦点 ，渐近线 ，。
判定直线斜率： 渐近线 的倾斜角为 。若 是直角三角形，由对称性，直角顶点必在渐近线上。 不妨设 ，则直线 的斜率 （或利用垂直斜率乘积为 -1）。 根据对称性，设 的斜率为 结果相同。 取直线 方程为：。
计算交点坐标：
联立 与 ：。
联立 与 ：。
- 计算距离： 。
故选 B。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 特殊角的敏感度：看到 ，应立刻想到 角。在解析几何中，特殊角往往暗示了垂直或对称关系。
- 几何优先：在处理直角三角形时，先判断哪个角是直角。原点 是渐近线交点，其夹角固定，这是判定直角位置的关键。
- 对称性简化：双曲线关于坐标轴对称。在求长度、面积等不变量时，选取第一象限的特殊情况计算，可以避免讨论正负号。
📖【试题探源与推广】
Tip
在 Obsidian 笔记中，可以积累这个结论：
- 若直线过焦点且与渐近线垂直，这种构造常出现在求离心率或线段长的题目中。
- 快捷公式：当直线垂直于渐近线且过焦点时，垂足到原点的距离刚好等于实半轴长 （在本题中 ，由于计算方式不同，此结论需配合特定构型使用）。
🔗【关联脉络】
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