2018-全国卷I理-14 填-数列通项

本题导读

本题考查数列与的关系，以及等比数列的判定与通项。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_n=2a_n+1$，则 $S_6=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定数列类型：

• 利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge 2$）的逻辑。
• 由 $S_n=2a_n+1$ 得 $S_{n-1}=2a_{n-1}+1$。
• 两式相减：$a_n=2a_n-2a_{n-1}$，整理得 $a_n=2a_{n-1}$。这说明数列从第二项起是公比为 2 的等比数列。

2. 求首项 $a_1$：

• 令 $n=1$，则 $S_1=2a_1+1$。
• 因为 $S_1=a_1$，所以 $a_1=2a_1+1⟹a_1=-1$。

3. 计算 $S_6$：

• 直接利用 $S_n=2a_n+1$ 的已知公式。
• 先求出 $a_6=a_1\cdot q^5$，再代入公式求 $S_6$。或者直接用等比数列求和公式。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

【答案】 -63

【解析过程】

1. 推导递推关系： 当 $n\ge 2$ 时，由 $S_n=2a_n+1$ 及 $S_{n-1}=2a_{n-1}+1$ 相减得： $S_n-S_{n-1}=(2a_n+1)-(2a_{n-1}+1)$ $a_n=2a_n-2a_{n-1}$ 整理得：$a_n=2a_{n-1}$。 所以数列 $\{a_n\}$ 是公比 $q=2$ 的等比数列。

2. 求基本量： 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=2a_1+1$，解得 $a_1=-1$。 由此可得通项公式：$a_n=-1\cdot 2^{n-1}$。

3. 计算 $S_6$： 方法一（代入原式）： $a_6=a_1\cdot q^5=-1\cdot 2^5=-32$。 将 $a_6$ 代入已知条件 $S_n=2a_n+1$： $S_6=2a_6+1=2\times (-32)+1=-64+1=-63$

方法二（求和公式）： $S_6=\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=\frac{-1(1-2^6)}{1-2}=\frac{-1(1-64)}{-1}=1-64=-63$

故填入：-63。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. $S_n$ 与 $a_n$ 关系的转化习惯：

• 看到式子中既有 $S_n$ 又有 $a_n$，通常有两个方向：要么全部化为 $a_n$（如本题），求通项；要么全部化为 $S_n$（利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$），求和。

2. $n=1$ 的重要性：在判定数列类型和求值时，首项永远是必须单独校验或计算的第一步。
3. 公式利用：本题最巧妙的地方在于最后一步，利用题目给出的 $S_n=2a_n+1$ 直接算 $S_6$，比用求和公式更不容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记录：

• 若等比数列公比为 $q$，则 $S_n=A\cdot q^n-A$（即常数项与系数互为相反数）。
• 本题中 $S_n=2a_n+1=2(a_1\cdot 2^{n-1})+1=-2^n+1$。
• 这符合 $S_n=-1\cdot 2^n-(-1)$ 的形式，再次验证了其等比数列的特征。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-09 单-等比数列的性质
• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比