2018-全国卷I理-17 解-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于正弦定理、余弦定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）在平面四边形 $ABCD$ 中，$\angle ADC=90^{\circ }$，$\angle A=45^{\circ }$，$AB=2$，$BD=5$.

(1) 求 $\cos \angle ADB$；

(2) 若 $DC=2\sqrt{2}$，求 $BC$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求角）：

• 在 $△ABD$ 中，已知两边 $AB,BD$ 和一角 $\angle A$。
• 利用正弦定理 $\frac{BD}{\sin A}=\frac{AB}{\sin \angle ADB}$ 求出 $\sin \angle ADB$。
• 由于 $BD>AB$，则 $\angle A>\angle ADB$，故 $\angle ADB$ 必为锐角，进而求出 $\cos \angle ADB$。

2. 第二问（求边）：

• 关键在于求出 $△BCD$ 中的内角 $\angle BDC$。
• 因为 $\angle ADC=90^{\circ }$，所以 $\angle BDC=90^{\circ }-\angle ADB$。
• 利用诱导公式 $\cos \angle BDC=\sin \angle ADB$。
• 在 $△BCD$ 中，已知 $BD,DC$ 和 $\cos \angle BDC$，利用余弦定理求解 $BC$。

✅【答案】

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(1) $\cos \angle ADB=\frac{\sqrt{23}}{5}$

(2) $BC=5$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 在 $△ABD$ 中，由正弦定理得： $\frac{BD}{\sin A}=\frac{AB}{\sin \angle ADB}$ 代入数据： $\frac{5}{\sin 45^{\circ }}=\frac{2}{\sin \angle ADB}⟹\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sin \angle ADB}$ 解得：$\sin \angle ADB=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{5}$。 在 $△ABD$ 中，由于 $BD=5>AB=2$， 根据大边对大角可知 $\angle A>\angle ADB$。 因为 $\angle A=45^{\circ }$，所以 $\angle ADB$ 必为锐角。 则 $\cos \angle ADB=\sqrt{1-{\sin }^2\angle ADB}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2}}{5}{)}^2}=\sqrt{1-\frac{2}{25}}=\sqrt{\frac{23}{25}}=\frac{\sqrt{23}}{5}$。

(2)解： 因为 $\angle ADC=90^{\circ }$， 所以 $\angle BDC=90^{\circ }-\angle ADB$。 则 $\cos \angle BDC=\cos (90^{\circ }-\angle ADB)=\sin \angle ADB=\frac{\sqrt{2}}{5}$。 在 $△BCD$ 中，由余弦定理得： $B{C}^2=B{D}^2+D{C}^2-2\cdot BD\cdot DC\cdot \cos \angle BDC$ 代入 $BD=5$，$DC=2\sqrt{2}$，$\cos \angle BDC=\frac{\sqrt{2}}{5}$： $B{C}^2=5^2+(2\sqrt{2}{)}^2-2\times 5\times 2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{5}$ $B{C}^2=25+8-20\times \frac{2}{5}=33-8=25$ 所以 $BC=5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 多三角形关联：解平面图形问题的核心在于寻找“桥梁”。本题的桥梁是公共边 $BD$ 和互余的角度关系。
2. 诱导公式的隐含应用：在直角环境下的角度转化（如 $\cos (90^{\circ }-\theta )=\sin \theta$）是高频考点。
3. 计算核查：在余弦定理代入根式时，要注意平方运算的准确性（如 $(2\sqrt{2}{)}^2=8$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理：

• 已知两边一角（对角） $\to$ 正弦定理求另一角 $\to$ 内角和求第三角 $\to$ 正弦定理求第三边。
• 已知两边一角（夹角） $\to$ 余弦定理求第三边。
• 直角背景 $\to$ 优先考虑勾股定理或诱导公式转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2013-福建卷理-13 填-余弦定理
• 2025-天津卷-16 解-解三角形综合