2018-全国卷II文-15 填-两角和差

本题导读

本题考查两角差的正切公式，以及三角函数的恒等变换。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）已知 $\tan \left(\alpha -\frac{5\pi }{4}\right)=\frac{1}{5}$, 则 $\tan \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用诱导公式将 $\frac{5\pi }{4}$ 转化为 $\pi +\frac{\pi }{4}$ 进行化简。

2. 展开两角差的正切公式，解关于 $\tan \alpha$ 的方程。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$（或 $1.5$）

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\tan \left(\alpha -\frac{5\pi }{4}\right)=\tan \left(\alpha -\pi -\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{5}$。

根据两角差的正切公式：

$\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\tan \alpha -1}{1+\tan \alpha }=\frac{1}{5}$

交叉相乘求解：

$5(\tan \alpha -1)=1+\tan \alpha ⟹5\tan \alpha -5=1+\tan \alpha ⟹4\tan \alpha =6⟹\tan \alpha =\frac{3}{2}$

答案：$\frac{3}{2}$（或 $1.5$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角差的正切公式、诱导公式。

2. 核心方法：整体代换与解一元一次方程。

3. 避坑指南：熟练掌握特殊角的正切值及诱导公式的符号变换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数恒等变换基础题。

2. 结论推广: 遇到 $\tan (\alpha -k\pi )$ 形式优先利用周期性或诱导公式化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷理-18

• 2005-天津卷理-20 解-解三角形在实际问题中的应用

• 2005-浙江卷理-17 解-椭圆的标准方程与准线性质