2018-全国卷II文-16 填-圆锥性质

本题导读

本题考查圆锥城的几何性质，以及圆锥体的体积公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）已知圆锥的顶点为 $S$, 母线 $SA,SB$ 互相垂直，$SA$ 与圆锥底面所成角为 $30^{\circ }$, 若 $△SAB$ 的面积为 $8$, 则该圆锥的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据母线 $SA,SB$ 垂直且面积为 $8$，求出母线长 $l$。
2. 结合线面角定义求出圆锥的高 $h$ 和底面半径 $r$。
3. 代入圆锥体积公式计算最终结果。

✅【答案】

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$8\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥母线长为 $l$，即 $SA=SB=l$。 因为 $△SAB$ 是等腰直角三角形（$SA\perp SB$）且面积为 $8$， 所以 $\frac{1}{2}l\cdot l=8⟹l^2=16⟹l=4$。 设圆锥底面圆心为 $O$，顶点为 $S$，高为 $h$，底面半径为 $r$。 母线 $SA$ 与底面所成角为 $\angle SAO=30^{\circ }$， 在 Rt$△SOA$ 中：

• 高 $h=l\sin 30^{\circ }=4\times \frac{1}{2}=2$；
• 底面半径 $r=l\cos 30^{\circ }=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。 圆锥的体积为： $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times \pi \times (2\sqrt{3}{)}^2\times 2=\frac{1}{3}\times \pi \times 12\times 2=8\pi$ 答案：$8\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥的几何特征、线面角、体积公式。
2. 核心方法：轴截面直角三角形分析法。
3. 避坑指南：注意圆锥的母线与底面所成角是母线与它在底面上的射影所成角，切勿混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何计算填空压轴题。
2. 结论推广: 旋转体的计算通常可以通过其轴截面图形转化为平面几何问题来解决。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理