2018-全国卷II文-17 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式。核心在于基本量法、配方法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=-7$, $S_3=-15$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求 $S_n$, 并求 $S_n$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设等差数列的公差为 $d$，根据已知条件 $a_1$ 和 $S_3$ 列出方程求出公差 $d$。
2. 利用等差数列通项公式求出 $a_n$。
3. 利用等差数列前 $n$ 项和公式写出 $S_n$ 的表达式，通过配方法求出 $S_n$ 的最小值。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n-9$

(2) $S_n=n^2-8n$，当 $n=4$ 时取得最小值 $-16$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 因为 $a_1=-7$， $S_3=3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=3a_1+3d=-15$， 代入 $a_1=-7$ 得： $3(-7)+3d=-15⟹-21+3d=-15⟹3d=6⟹d=2$ 因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=-7+(n-1)\times 2=2n-9$

(2) 由等差数列前 $n$ 项和公式： $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=-7n+\frac{n(n-1)}{2}\times 2=-7n+n^2-n=n^2-8n$ 配方得： $S_n=(n-4{)}^2-16$ 因为 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，当 $n=4$ 时，$S_n$ 取得最小值，最小值为 $-16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列基本量计算、通项与求和、二次函数求最值。
2. 核心方法：基本量法（方程求解）。
3. 避坑指南：求数列前 $n$ 项和最值时，注意自变量 $n$ 必须为正整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列解答题的常考基础题。
2. 结论推广: 等差数列前 $n$ 项和 $S_n=A{n}^2+Bn$ 是关于 $n$ 的常数项为零的二次函数，其最值通常在对称轴附近的正整数处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项
• 2014-福建卷理-03 单-等差数列通项
• 2008-安徽卷文-15 填-等差数列待定系数