2018-全国卷II理-13 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及复合函数求导。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）曲线 $y=2\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定切点：题目明确给出“在点 $(0,0)$ 处”，说明 $(0,0)$ 既在曲线上，也是切点。

2. 求导数：对函数 $y=2\ln (x+1)$ 求导，得到导函数 $y^{\prime }$。

3. 求斜率：将切点的横坐标 $x=0$ 代入导函数，得到切线的斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=0}$。

4. 写方程：利用点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$ 写出切线方程，并化简为一般式或斜截式。

✅【答案】

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$y=2x$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $y=2x$

【解析过程】

1. 求导：

由 $y=2\ln (x+1)$，根据复合函数求导法则：

$y^{\prime }=2\cdot \frac{1}{x+1}\cdot (x+1{)}^{\prime }=\frac{2}{x+1}$

2. 求斜率：

将 $x=0$ 代入 $y^{\prime }$，得切线斜率 $k$：

$k=\frac{2}{0+1}=2$

3. 写方程：

已知切点为 $(0,0)$，斜率为 $2$，由点斜式方程得：

$y-0=2(x-0)$

即：$y=2x$。

故填入：$y=2x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 切点概念：“在某点处”意味着该点一定是切点；如果是“过某点”，则需要先设切点坐标再求解。

2. 导数公式：熟记 $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$。对于 $\ln (x+1)$，由于内函数 $x+1$ 的导数为 1，计算非常简便。

3. 结果形式：填空题中，切线方程通常写成 $y=kx+b$ 或 $ax+by+c=0$ 的形式均可。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个技巧：

• 微小增量近似：当 $x$ 极小时，$\ln (1+x)\approx x$。

• 因此 $y=2\ln (1+x)\approx 2x$。这在选择题或填空题中可以作为一种快速检验答案的方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2005-江苏卷-14 填-导数的几何意义

• 2009-北京卷理-11

• 2009-大纲卷II理-04