2018-全国卷III文-12 单-内接球最值

本题导读

本题考查球体内接几何体与体积最大值，以及三角形面积与外接圆半径。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）设 $A,B,C,D$ 是同一个半径为 $4$ 的球的球面上四点，$△ABC$ 为等边三角形并且其面积为 $9\sqrt{3}$, 则三棱锥 $D-ABC$ 体积的最大值为 ()

A. $12\sqrt{3}$　　　　　　B. $18\sqrt{3}$　　　　　　C. $24\sqrt{3}$　　　　　　D. $54\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先由等边三角形面积求出其边长及外接圆半径 $r$。
2. 利用球的半径 $R$、底面外接圆半径 $r$ 确定三棱锥的高 $h$ 的最大可能值。
3. 利用三棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}S\cdot h$ 求出体积的最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设等边三角形 $△ABC$ 的边长为 $a$，其面积为 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=9\sqrt{3}$， 解得 $a^2=36⟹a=6$。 等边三角形 $△ABC$ 的外接圆半径 $r$ 为： $r=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ 设球心为 $O$，球半径 $R=4$，球心到 $△ABC$ 所在平面的距离为 $d$， 由勾股定理可得 $d^2=R^2-r^2=4^2-(2\sqrt{3}{)}^2=16-12=4⟹d=2$。 三棱锥 $D-ABC$ 的高 $h$ 的最大值出现在顶点 $D$ 位于球心关于底面平面的对称位置时，即 $h_{\max }=R+d=4+2=6$。 因此，三棱锥 $D-ABC$ 体积的最大值为： $V_{\max }=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times h_{\max }=\frac{1}{3}\times 9\sqrt{3}\times 6=18\sqrt{3}$ 故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球体内接几何体、外接圆半径、体积最大值。
2. 核心方法：球心距与半径构成的直角三角形法。
3. 避坑指南：三棱锥高最大时，顶点到底面平面的距离等于球半径加上球心到底面平面的距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何压轴选择题。
2. 结论推广: 球体内接锥体体积最大时，顶点通常在底面外接圆圆心垂线穿过球面的最远端。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-20 解-双曲线方程与面积定斜率
• 2009-广东卷文-19 解-椭圆与包围圆
• 2009-浙江卷文-18 解-解三角形与向量